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Articulo de referencia

Geometría tropical

Una curva cúbica tropical En matemáticas , la geometría tropical es el estudio de los polinomios y sus propiedades geométricas cuando la suma se reemplaza por la minimización y ...

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Una curva cúbica tropical

En matemáticas , la geometría tropical es el estudio de los polinomios y sus propiedades geométricas cuando la suma se reemplaza por la minimización y la multiplicación por la suma ordinaria:

incógnita⊕y=min{incógnita,y}{\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}},
incógnita⊗y=incógnita+y{\displaystyle x\otimes y=x+y}.

Por ejemplo, el polinomio clásicoincógnita3+incógnitay+y4{\displaystyle x^{3}+xy+y^{4}}se convertiría enmin{incógnita+incógnita+incógnita,incógnita+y,y+y+y+y}{\displaystyle \min\{x+x+x,\;x+y,\;y+y+y+y\}}Estos polinomios y sus soluciones tienen aplicaciones importantes en problemas de optimización, por ejemplo, el problema de optimizar los horarios de salida de una red de trenes.

La geometría tropical es una variante de la geometría algebraica en la que los grafos polinomiales se asemejan a mallas lineales por partes , y en la que los números pertenecen al semianillo tropical en lugar de a un cuerpo. Debido a la estrecha relación entre la geometría clásica y la tropical, es posible convertir resultados y métodos entre ellas. Las variedades algebraicas pueden mapearse a una contraparte tropical y, dado que este proceso conserva cierta información geométrica sobre la variedad original, puede utilizarse para demostrar y generalizar resultados clásicos de la geometría algebraica, como el teorema de Brill-Noether o el cálculo de invariantes de Gromov-Witten , utilizando las herramientas de la geometría tropical. [ 1 ]

Historia

Las ideas básicas del análisis tropical fueron desarrolladas independientemente, utilizando la misma notación, por matemáticos que trabajaban en diversos campos. [ 2 ] Las ideas centrales de la geometría tropical aparecieron de diferentes formas en varios trabajos anteriores. Por ejemplo, Victor Pavlovich Maslov introdujo una versión tropical del proceso de integración. También observó que la transformación de Legendre y las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi son operaciones lineales en el sentido tropical. [ 3 ] Sin embargo, solo desde finales de la década de 1990 se ha hecho un esfuerzo por consolidar las definiciones básicas de la teoría. Esto fue motivado por su aplicación a la geometría algebraica enumerativa , con ideas de Maxim Kontsevich [ 4 ] y trabajos de Grigory Mikhalkin [ 5 ], entre otros.

El adjetivo «tropical» fue acuñado por matemáticos franceses en honor al científico informático brasileño de origen húngaro Imre Simon , quien escribió sobre el tema. Jean-Éric Pin atribuye la creación del término a Dominique Perrin , [ 6 ] mientras que el propio Simon lo atribuye a Christian Choffrut. [ 7 ]

Conocimientos básicos de álgebra

La geometría tropical se basa en el semicírculo tropical . Este se define de dos maneras, según la convención de máximo o mínimo.

El semicírculo tropical mínimoT{\displaystyle \mathbb {T} }es el semianilloT=(R∪{+∞},⊕,⊗){\displaystyle \mathbb {T} =(\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )}, con las operaciones:

incógnita⊕y=min{incógnita,y}{\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}},
incógnita⊗y=incógnita+y{\displaystyle x\otimes y=x+y}.

Las operaciones⊕{\displaystyle \oplus }y⊗{\displaystyle \otimes }se denominan suma tropical y multiplicación tropical respectivamente. El elemento identidad para⊕{\displaystyle \oplus }es+∞{\displaystyle +\infty }y el elemento de identidad para⊗{\displaystyle \otimes }es 0.

De manera similar, el semicírculo tropical máximoT{\displaystyle \mathbb {T} }es el semianilloT=(R∪{−∞},⊕,⊗){\displaystyle \mathbb {T} =(\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )}, con operaciones:

incógnita⊕y=máximo{incógnita,y}{\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\}},
incógnita⊗y=incógnita+y{\displaystyle x\otimes y=x+y}.

El elemento de identidad para⊕{\displaystyle \oplus }es−∞{\displaystyle -\infty }y el elemento de identidad para⊗{\displaystyle \otimes }es 0.

Estos semianillos son isomorfos bajo la negación.incógnita↦−incógnita{\displaystyle x\mapsto -x}y, por lo general, se elige uno de ellos y se le denomina simplemente semianillo tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos utilizan la convención min , otros la convención max .

El modelo de operaciones de semianillo tropical muestra cómo se comportan las valoraciones bajo la suma y la multiplicación en un campo valorado .

Algunos campos con valores comunes que se encuentran en la geometría tropical (con la convención min) son:

  • Q{\displaystyle \mathbb {Q} }odo{\displaystyle \mathbb {C} }con la valoración trivial,v(a)=0{\displaystyle v(a)=0}a pesar dea≠0{\displaystyle a\neq 0}.
  • Q{\displaystyle \mathbb {Q} }o sus extensiones con la valoración p-ádica ,vpag(pagnortea/b)=norte{\displaystyle v_{p}(p^{n}a/b)=n}para a y b coprimos con p .
  • El campo de la serie Laurentdo((t)){\displaystyle \mathbb {C} (\!(t)\!)}(potencias enteras), o el campo de las series de Puiseux (complejas).do{{t}}{\displaystyle \mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}}, donde la valoración devuelve el exponente más pequeño de t que aparece en la serie.

Polinomios tropicales

Un polinomio tropical es una funciónF:Rnorte→R{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }que puede expresarse como la suma tropical de un número finito de términos monomiales . Un término monomial es un producto tropical (y/o cociente) de una constante y variables deincógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}. Por lo tanto, un polinomio tropicalF{\displaystyle F}es el mínimo de una colección finita de funciones lineales afines en las que las variables tienen coeficientes enteros, por lo que es cóncava , continua y lineal a trozos . [ 8 ]

F(incógnita1,…,incógnitanorte)=(do1⊗incógnita1⊗a11⊗⋯⊗incógnitanorte⊗anorte1)⊕⋯⊕(dos⊗incógnita1⊗a1s⊗⋯⊗incógnitanorte⊗anortes)=min{do1+a11incógnita1+⋯+anorte1incógnitanorte,…,dos+a1sincógnita1+⋯+anortesincógnitanorte}{\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}\end{aligned}}}

Dado un polinomioF{\displaystyle f}en el anillo de polinomios de LaurentK[incógnita1±1,…,incógnitanorte±1]{\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}dóndeK{\displaystyle K}es un campo valioso, la tropicalización deF{\displaystyle f}, denotadoTropical⁡(F){\displaystyle \operatorname {Trop} (f)}, es el polinomio tropical obtenido deF{\displaystyle f}reemplazando la multiplicación y la suma por sus contrapartes tropicales y cada constante enK{\displaystyle K}por su valoración. Es decir, si

F=∑i=1sdoiincógnitaAicon A1,…,As∈Znorte{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{con }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n}},

entonces

Tropical⁡(F)=⨁i=1sv(doi)⊗incógnita⊗Ai{\displaystyle \operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}}.

El conjunto de puntos donde un polinomio tropicalF{\displaystyle F}es no diferenciable se denomina su hipersuperficie tropical asociada , denotadaV(F){\displaystyle \mathrm {V} (F)}(en analogía con el conjunto evanescente de un polinomio). Equivalentemente,V(F){\displaystyle \mathrm {V} (F)}es el conjunto de puntos donde el mínimo entre los términos deF{\displaystyle F}se logra al menos dos veces. CuandoF=Tropical⁡(F){\displaystyle F=\operatorname {Trop} (f)}para un polinomio de LaurentF{\displaystyle f}, esta última caracterización deV(F){\displaystyle \mathrm {V} (F)}refleja el hecho de que en cualquier solución aF=0{\displaystyle f=0}, la valoración mínima de los términos deF{\displaystyle f}debe lograrse al menos dos veces para que todos se cancelen. [ 9 ]

Variedades tropicales

Definiciones

Para X una variedad algebraica en el toro algebraico(K×)norte{\displaystyle (K^{\times })^{n}}, la variedad tropical de X o tropicalización de X , denotadaTropical⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}, es un subconjunto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}que puede definirse de varias maneras. La equivalencia de estas definiciones se conoce como el Teorema Fundamental de la Geometría Tropical . [ 9 ]

Intersección de hipersuperficies tropicales

DejarI(incógnita){\displaystyle \mathrm {I} (X)}sea ​​el ideal de polinomios de Laurent que se anulan en X enK[incógnita1±1,…,incógnitanorte±1]{\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}. Definir

Tropical⁡(incógnita)=⋂F∈I(incógnita)V(Tropical⁡(F))⊆Rnorte{\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}}

Cuando X es una hipersuperficie, su ideal evanescenteI(incógnita){\displaystyle \mathrm {I} (X)}es un ideal principal generado por un polinomio de Laurent f y la variedad tropicalTropical⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}es precisamente la hipersuperficie tropicalV(Tropical⁡(F)){\displaystyle \mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))}.

Cada variedad tropical es la intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales. Un conjunto finito de polinomios{F1,…,Fr}⊆I(incógnita){\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)}se denomina base tropical para X siTropical⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}es la intersección de las hipersuperficies tropicales deTropical⁡(F1),…,Tropical⁡(Fr){\displaystyle \operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})}. En general, un conjunto generador deI(incógnita){\displaystyle \mathrm {I} (X)}no es suficiente para formar una base tropical. La intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales se denomina prevariedad tropical y, en general, no es una variedad tropical. [ 9 ]

ideales iniciales

Elegir un vectorw{\displaystyle \mathbf {w} }enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}define un mapa a partir de los términos monomiales deK[incógnita1±1,…,incógnitanorte±1]{\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}aR{\displaystyle \mathbb {R} }enviando el término m aTropical⁡(metro)(w){\displaystyle \operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )}. Para un polinomio de LaurentF=metro1+⋯+metros{\displaystyle f=m_{1}+\cdots +m_{s}}, definimos la forma inicial de f como la suma de los términosmetroi{\displaystyle m_{i}}de f para la cualTropical⁡(metroi)(w){\displaystyle \operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )}es mínimo. Para lo idealI(incógnita){\displaystyle \mathrm {I} (X)}, definir su ideal inicial con respecto aw{\displaystyle \mathbf {w} }ser

enw⁡I(incógnita)=(enw⁡(F):F∈I(incógnita)){\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X))}.

Luego define

Tropical⁡(incógnita)={w∈Rnorte:enw⁡I(incógnita)≠(1)}{\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}}.

Dado que estamos trabajando en el anillo de Laurent, esto es lo mismo que el conjunto de vectores de peso para los cualesenw⁡I(incógnita){\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}no contiene un monomio.

Cuando K tiene valuación trivial,enw⁡I(incógnita){\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}es precisamente el ideal inicial deI(incógnita){\displaystyle \mathrm {I} (X)}con respecto al orden monomial dado por un vector de pesow{\displaystyle \mathbf {w} }De ello se deduce queTropical⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}es un subfan del fan de Gröbner deI(incógnita){\displaystyle \mathrm {I} (X)}.

Imagen del mapa de valoración

Supongamos que X es una variedad sobre un cuerpo K con valuación v cuya imagen es densa enR{\displaystyle \mathbb {R} }(por ejemplo, un cuerpo de series de Puiseux). Al actuar coordenada a coordenada, v define una aplicación del toro algebraico(K×)norte{\displaystyle (K^{\times })^{n}}aRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Luego define

Tropical⁡(incógnita)={(v(incógnita1),…,v(incógnitanorte)):(incógnita1,…,incógnitanorte)∈incógnita}¯{\displaystyle \operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}}},

donde la línea superior indica el cierre en la topología euclidiana . Si la valuación de K no es densa enR{\displaystyle \mathbb {R} }, entonces la definición anterior puede adaptarse extendiendo los escalares a un campo más grande que sí tiene una valuación densa.

Esta definición muestra queTropical⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}es la ameba no arquimediana sobre un cuerpo no arquimediano algebraicamente cerrado K . [ 10 ]

Si X es una variedad sobredo{\displaystyle \mathbb {C} },Tropical⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}puede considerarse como el objeto limitante de la amebaRegistrot⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {Log} _{t}(X)}a medida que la base t del mapa logarítmico tiende a infinito (véase también Semianillo logarítmico ). [ 11 ]

Complejo poliédrico

La siguiente caracterización describe las variedades tropicales intrínsecamente sin referencia a las variedades algebraicas ni a la tropicalización. Un conjunto V enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}es una variedad tropical irreducible si es el soporte de un complejo poliédrico ponderado de dimensión pura d que satisface la condición de tensión cero y está conectado en codimensión uno. Cuando d es uno, la condición de tensión cero significa que alrededor de cada vértice, la suma ponderada de las direcciones salientes de las aristas es igual a cero. Para dimensiones superiores, las sumas se toman en cambio alrededor de cada celda de dimensiónd−1{\displaystyle d-1}después de calcular el cociente del intervalo afín de la celda. [ 8 ] La propiedad de que V esté conectado en codimensión uno significa que para cualesquiera dos puntos que se encuentran en celdas de dimensión d , existe un camino que los conecta que no pasa por ninguna celda de dimensión menor qued−1{\displaystyle d-1}. [ 12 ]

curvas tropicales

El estudio de las curvas tropicales (variedades tropicales de dimensión uno) está particularmente bien desarrollado y está estrechamente relacionado con la teoría de grafos . Por ejemplo, la teoría de los divisores de curvas tropicales está relacionada con los juegos de lanzamiento de fichas en grafos asociados a dichas curvas. [ 13 ]

Muchos teoremas clásicos de la geometría algebraica tienen equivalentes en la geometría tropical, entre ellos:

Oleg Viro utilizó curvas tropicales para clasificar curvas reales de grado 7 en el plano hasta la isotopía . Su método de reconstrucción proporciona un procedimiento para construir una curva real de una clase de isotopía determinada a partir de su curva tropical.

Aplicaciones

Una línea tropical apareció en el diseño de subastas de Paul Klemperer utilizado por el Banco de Inglaterra durante la crisis financiera de 2007. [ 17 ] Yoshinori Shiozawa definió el álgebra subtropical como un semianillo max-times o min-times (en lugar de max-plus y min-plus). Descubrió que la teoría del comercio ricardiano (comercio internacional sin comercio de insumos) puede interpretarse como un álgebra convexa subtropical. [ 18 ] La geometría tropical también se ha utilizado para analizar redes neuronales. Un resultado de este tipo es que las redes neuronales de alimentación directa con activación ReLU son exactamente curvas racionales tropicales. [ 19 ]

Además, varios problemas de optimización que surgen, por ejemplo, en la programación de tareas, el análisis de ubicación, las redes de transporte, la toma de decisiones y los sistemas dinámicos de eventos discretos pueden formularse y resolverse en el marco de la geometría tropical. [ 20 ] Una contraparte tropical del mapa de Abel-Jacobi puede aplicarse al diseño de un cristal. [ 21 ] A menudo se requiere que los pesos en un transductor de estados finitos ponderado sean un semianillo tropical. La geometría tropical puede mostrar criticidad autoorganizada . [ 22 ]

La geometría tropical también ha encontrado aplicaciones en diversos temas dentro de la física teórica de altas energías. En particular, se ha utilizado para simplificar drásticamente las amplitudes de la teoría de cuerdas hasta sus límites de teoría de campos [ 23 ] y se han encontrado conexiones con construcciones como el Amplituhedron [ 24 ] y los modelos sigma tropológicos (de Carroll topológico) [ 25 ] .

La geometría tropical también ha encontrado aplicaciones en filogenética . El espacio de árboles filogenéticos forma un espacio lineal tropical, [ 26 ] que es tropicalmente convexo. Esta conexión ha motivado la investigación de métodos estadísticos en espacios de árboles, [ 27 ] [ 28 ] incluyendo enfoques no paramétricos para encontrar árboles de consenso basados ​​en la optimización tropical. [ 29 ] [ 30 ]

Véase también

Notas

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  2. ↑ Véase Cuninghame-Green, Raymond A. (1979). Álgebra minimax . Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences. Vol. 166. Springer. ISBN  978-3-540-09113-4y las referencias que contiene.
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Referencias

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  • Theobald, Thorsten (2003). "Primeros pasos en geometría tropical". arXiv : math/0306366v2 .

Lecturas adicionales

  • Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander, eds. (2013). Geometría tropical y no arquimediana. Taller de Bellairs sobre teoría de números, geometría tropical y no arquimediana, Instituto de Investigación Bellairs, Holetown, Barbados, EE. UU., 6-13 de mayo de 2011. Matemáticas Contemporáneas. Vol.  605. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002 . 
  • Geometría tropical y simetría especular
  • Geometría tropical, I
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