semianillo de tronco

En matemáticas , en el campo del análisis tropical , el log-semianillo es la estructura de semianillo en la escala logarítmica , obtenida al considerar los números reales extendidos como logaritmos . Es decir, las operaciones de suma y multiplicación se definen por conjugación : exponenciar los números reales, obteniendo un número positivo (o cero), sumar o multiplicar estos números con las operaciones algebraicas ordinarias sobre números reales, y luego tomar el logaritmo para revertir la exponenciación inicial. Estas operaciones también se conocen como, por ejemplo, suma logarítmica , etc. Como es habitual en el análisis tropical, las operaciones se denotan por ⊕ y ⊗ para distinguirlas de la suma usual + y la multiplicación × (o ⋅). Estas operaciones dependen de la elección de la base b para el exponente y el logaritmo ( b es una elección de unidad logarítmica ), que corresponde a un factor de escala, y están bien definidas para cualquier base positiva distinta de 1; usar una base b < 1 es equivalente a usar un signo negativo y usar el inverso 1/ b > 1 . ^{[ a ]} ​​Si no se especifica, la base se toma convencionalmente como e o 1/ e , que corresponde a e con un signo negativo.

El semianillo logarítmico tiene como límite el semianillo tropical (" tropicalización ", "descuantización") cuando la base tiende al infinito .${\displaystyle b\to \infty }$( semianillo max-plus ) oa cero${\displaystyle b\to 0}$( semianillo min-plus ), y por lo tanto puede verse como una deformación ("cuantización") del semianillo tropical. En particular, la operación de suma, logadd (para múltiples términos, LogSumExp ) puede verse como una deformación del máximo o mínimo . El log-semianillo tiene aplicaciones en la optimización matemática , ya que reemplaza el máximo y el mínimo no suaves por una operación suave. El log-semianillo también surge cuando se trabaja con números que son logaritmos (medidos en una escala logarítmica ), como decibelios (ver Decibelio §  Suma ), probabilidad logarítmica o verosimilitudes logarítmicas .

Las operaciones en el semianillo logarítmico se pueden definir extrínsecamente mapeándolas a los números reales no negativos, realizando las operaciones allí y volviendo a mapearlas. Los números reales no negativos, con las operaciones habituales de suma y multiplicación, forman un semianillo (no hay negativos), conocido como semianillo de probabilidad , por lo que las operaciones del semianillo logarítmico pueden considerarse como retrocesos de las operaciones en el semianillo de probabilidad, y estas son isomorfas como anillos.

Formalmente, dados los números reales extendidos R ∪ {–∞, +∞ } ^{[ b ]} y una base positiva b ≠ 1 , se define:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}+b^{y}\right)\\x\otimes _{b}y&=\log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)=x+y.\end{aligned}}}$

Independientemente de la base, la multiplicación de logaritmos es lo mismo que la suma habitual,${\displaystyle x\otimes _ {b}y=x+y}$, ya que los logaritmos transforman la multiplicación en suma; sin embargo, la suma de logaritmos depende de la base. Las unidades para la suma y la multiplicación habituales son 0 y 1; por consiguiente, la unidad para la suma de logaritmos es${\displaystyle \log _{b}0=-\infty }$para${\displaystyle b>1}$y${\displaystyle \log _{b}0=-\log _{1/b}0=+\infty }$para${\displaystyle b<1}$y la unidad para la multiplicación de logaritmos es${\displaystyle \log 1=0}$, independientemente de la base.

De forma más concisa, la unidad log-semiring se puede definir con la base e como:

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=\log \left(e^{x}+e^{y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

con unidad aditiva −∞ y unidad multiplicativa 0; esto corresponde a la convención del máximo.

La convención opuesta también es común y corresponde a la base 1/ e , la convención mínima: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x\oplus y&=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)\\x\otimes y&=x+y.\end{aligned}}}$

con unidad aditiva +∞ y unidad multiplicativa 0.

Un log-semirredo es de hecho un semicampo , ya que todos los números distintos de la unidad aditiva −∞ (o +∞ ) tienen un inverso multiplicativo, dado por${\displaystyle -x,}$desde${\displaystyle x\otimes -x=\log _{b}(b^{x}\cdot b^{-x})=\log _{b}(1)=0.}$Por lo tanto, la división logarítmica ⊘ está bien definida, aunque la resta logarítmica ⊖ no siempre lo está.

Una media se puede definir mediante la suma de logaritmos y la división de logaritmos (como la media cuasi-aritmética correspondiente al exponente), como

${\displaystyle M_{\mathrm {lm} }(x,y):=(x\oplus y)\oslash 2=\log _{b}{\bigl (}(b^{x}+b^{y})/2{\bigr )}=\log _{b}(b^{x}+b^{y})-\log _{b}2=(x\oplus y)-\log _{b}2.}$

Esto es simplemente una suma desplazada por${\displaystyle -\log _{b}2,}$ya que la división logarítmica corresponde a la resta lineal.

Un log-semiring tiene la métrica euclidiana habitual, que corresponde a la escala logarítmica en los números reales positivos .

De manera similar, un log-semianillo tiene la medida de Lebesgue usual , que es una medida invariante con respecto a la multiplicación de logaritmos (suma usual, traslación geométrica) que corresponde a la medida logarítmica en el semianillo de probabilidad .

• Media logarítmica
• LogSumExp
• Softmax