Medida invariante

En matemáticas , una medida invariante es una medida que se conserva mediante alguna función . La función puede ser una transformación geométrica . Por ejemplo, un ángulo circular es invariante bajo rotación, un ángulo hiperbólico es invariante bajo una función de compresión y una diferencia de pendientes es invariante bajo una función de cizallamiento . ^[1]

La teoría ergódica es el estudio de las medidas invariantes en sistemas dinámicos . El teorema de Krylov-Bogolyubov demuestra la existencia de medidas invariantes bajo ciertas condiciones en la función y el espacio considerados.

Sea un espacio medible y sea una función medible de a sí misma. Se dice que una medida en es invariante bajo si, para cada conjunto medible en${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$${\displaystyle f:X\to X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$ ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$$

En términos de la medida de impulso , esto establece que${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

La colección de medidas (generalmente medidas de probabilidad ) que son invariantes bajo a veces se denota La colección de medidas ergódicas , es un subconjunto de Además, cualquier combinación convexa de dos medidas invariantes también es invariante, por lo que es un conjunto convexo ; consiste precisamente en los puntos extremos de${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$$estilo de visualización M_{f}(X).}$$Estilo de visualización E_{f}(X),}$$estilo de visualización M_{f}(X).}$$Estilo de visualización M_{f}(X)}$$Estilo de visualización E_{f}(X)}$$estilo de visualización M_{f}(X).}$

En el caso de un sistema dinámico donde es un espacio medible como antes, es un monoide y es el mapa de flujo, se dice que una medida en es una medida invariante si es una medida invariante para cada mapa. Explícitamente, es invariante si y solo si${\estilo de visualización (X, T,\varphi ),}$${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \varphi :T\veces X\a X}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X.}$${\estilo de visualización \mu}$ $${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ para todos }}t\in T,A\in \Sigma .}$$

Dicho de otra manera, es una medida invariante para una secuencia de variables aleatorias (quizás una cadena de Markov o la solución de una ecuación diferencial estocástica ) si, siempre que la condición inicial se distribuye de acuerdo con así lo es para cualquier momento posterior.${\estilo de visualización \mu}$ ${\displaystyle \left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}}$$Estilo de visualización Z_{0}$${\estilo de visualización \mu ,}$$Estilo de visualización Z_t$${\estilo de visualización t.}$

Cuando el sistema dinámico puede ser descrito por un operador de transferencia , entonces la medida invariante es un vector propio del operador, correspondiente a un valor propio de este siendo el valor propio más grande según lo dado por el teorema de Frobenius-Perron . ${\estilo de visualización 1,}$

• Considere la línea real con su σ-álgebra de Borel habitual ; fije y considere el mapa de traslación dado por: Entonces la medida de Lebesgue unidimensional es una medida invariante para${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R}}$${\displaystyle T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$$ ${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle T_{a}.}$
• De manera más general, el espacio euclidiano en -dimensional con su σ-álgebra de Borel habitual, la medida de Lebesgue en -dimensional es una medida invariante para cualquier isometría del espacio euclidiano, es decir, una función que se puede escribir como para alguna matriz ortogonal y un vector.${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \lambda ^{n}}$${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle T(x)=Ax+b}$$${\displaystyle n\veces n}$ ${\displaystyle A\in O(n)}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• La medida invariante en el primer ejemplo es única hasta una renormalización trivial con un factor constante. Esto no tiene por qué ser necesariamente así: considere un conjunto que consta de solo dos puntos y la función identidad que deja cada punto fijo. Entonces, cualquier medida de probabilidad es invariante. Nótese que trivialmente tiene una descomposición en componentes invariantes y${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}}$${\displaystyle T=\nombre del operador {Id} }$${\displaystyle \mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {S}}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización \{A\}}$${\estilo de visualización \{B\}.}$
• La medida del área en el plano euclidiano es invariante bajo el grupo lineal especial de las matrices reales de determinante${\displaystyle \nombreoperador {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2\times 2}$ ${\estilo de visualización 1.}$
• Cada grupo localmente compacto tiene una medida de Haar que es invariante bajo la acción del grupo.

• Medida cuasi-invariante

• John von Neumann (1999) Medidas invariantes , American Mathematical Society ISBN  978-0-8218-0912-9