Espacio medible

En matemáticas , un espacio medible o espacio de Borel ^[1] es un objeto básico en la teoría de la medida . Está formado por un conjunto y una σ-álgebra , que define los subconjuntos que serán medidos.

Captura y generaliza nociones intuitivas como longitud, área y volumen con un conjunto de "puntos" en el espacio, pero las regiones del espacio son los elementos del σ-álgebra , ya que las medidas intuitivas no suelen definirse para los puntos. El álgebra también captura las relaciones que podrían esperarse de las regiones: que una región puede definirse como una intersección de otras regiones, una unión de otras regiones o el espacio con la excepción de otra región. ${\estilo de visualización X}$

Consideremos un conjunto y una σ-álgebra en Entonces la tupla se llama espacio medible. ^[2]${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\estilo de visualización X.}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida , no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Observa el conjunto: Una posible -álgebra sería: Entonces es un espacio medible. Otra posible -álgebra sería el conjunto potencia en : Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto viene dado por $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$${\estilo de visualización \sigma}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

Si es finito o infinito numerable, el -álgebra es con mayor frecuencia el conjunto de potencias en, por lo que esto conduce al espacio medible.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización X,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

Si es un espacio topológico , el álgebra más común es el álgebra de Borel, por lo que esto conduce al espacio medible que es común para todos los espacios topológicos, como los números reales.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \sigma}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

El término espacio de Borel se utiliza para distintos tipos de espacios medibles. Puede referirse a:

• cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de un espacio medible como se definió anteriormente ^[1]
• un espacio medible que es isomorfo a Borel de un subconjunto medible de los números reales (de nuevo con el álgebra de Borel) ^[3]${\estilo de visualización \sigma}$

• Conjunto de Borel  – Clase de conjuntos matemáticos
• Función medible  – Función para la cual la preimagen de un conjunto medible es medible
• Medida  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• Espacio de Borel estándar  – Construcción matemática en topología
• Categoría de espacios mensurables