Espacio estándar de Borel

En matemáticas , un espacio de Borel estándar es el espacio de Borel asociado a un espacio polaco . Salvo en el caso de los espacios polacos discretos , el espacio de Borel estándar es único, salvo isomorfismo de espacios medibles .

Se dice que un espacio medible es "Borel estándar" si existe una métrica en que lo convierte en un espacio métrico completamente separable de tal manera que entonces es el σ-álgebra de Borel . ^[1] Los espacios de Borel estándar tienen varias propiedades útiles que no se cumplen para los espacios medibles generales. ${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$

• Si y son Borel estándar, entonces cualquier aplicación biyectiva medible es un isomorfismo (es decir, la aplicación inversa también es medible). Esto se desprende del teorema de Souslin , ya que un conjunto que es tanto analítico como coanalítico es necesariamente Borel.${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$${\estilo de visualización (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$
• Si y son espacios de Borel estándar y entonces es medible si y sólo si el gráfico de es Borel.${\estilo de visualización (X,\Sigma )}$${\estilo de visualización (Y,T)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$
• El producto y la unión directa de una familia contable de espacios de Borel estándar son estándar.
• Cada medida de probabilidad completa en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

Teorema . Sea un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que existe una métrica en que define la topología de y que forma un espacio métrico separable completo. Entonces, como un espacio de Borel es Borel isomorfo a uno de (1) (2) o (3) un espacio discreto finito. (Este resultado recuerda al teorema de Maharam ). ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

De ello se deduce que un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad , ^[2] y que cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo .

Los isomorfismos de Borel en espacios de Borel estándar son análogos a los homeomorfismos en espacios topológicos : ambos son biyectivos y cerrados bajo composición, y un homeomorfismo y su inverso son ambos continuos , en lugar de que ambos sean solo medibles mediante Borel.

• Espacio medible  – Objeto básico de la teoría de la medida; conjunto y álgebra sigma