Grupo compacto localmente

En matemáticas , un grupo localmente compacto es un grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y de Hausdorff . Los grupos localmente compactos son importantes porque muchos ejemplos de grupos que surgen a lo largo de las matemáticas son localmente compactos y dichos grupos tienen una medida natural llamada medida de Haar . Esto permite definir integrales de funciones medibles de Borel en G de modo que se puedan generalizar nociones de análisis estándar como la transformada de Fourier y los espacios .${\displaystyle L^{p}}$

Muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se prueban promediando sobre el grupo. Para grupos compactos, las modificaciones de estas pruebas arrojan resultados similares promediando con respecto a la integral de Haar normalizada . En el contexto localmente compacto general, tales técnicas no tienen por qué ser válidas. La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La teoría de representación para grupos abelianos localmente compactos se describe mediante la dualidad de Pontryagin .

• Cualquier grupo compacto es localmente compacto.
  • En particular, el grupo circular T de números complejos de módulo unitario bajo multiplicación es compacto y, por lo tanto, localmente compacto. El grupo circular sirvió históricamente como el primer grupo topológicamente no trivial que también tenía la propiedad de compacidad local y, como tal, motivó la búsqueda de la teoría más general que se presenta aquí.
• Cualquier grupo discreto es localmente compacto. Por lo tanto, la teoría de grupos localmente compactos abarca la teoría de grupos ordinarios, ya que a cualquier grupo se le puede dar la topología discreta .
• Los grupos de Lie , que son localmente euclidianos, son todos grupos localmente compactos.
• Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita .
• El grupo aditivo de números racionales Q no es localmente compacto si se da la topología relativa como subconjunto de los números reales . Es localmente compacto si se da la topología discreta.
• El grupo aditivo de números p -ádicos Q _p es localmente compacto para cualquier número primo p .

Por homogeneidad, la compacidad local del espacio subyacente para un grupo topológico solo necesita comprobarse en la identidad. Es decir, un grupo G es un espacio localmente compacto si y solo si el elemento identidad tiene un entorno compacto . De ello se deduce que existe una base local de entornos compactos en cada punto.

Todo subgrupo cerrado de un grupo localmente compacto es localmente compacto. (La condición de clausura es necesaria como lo demuestra el grupo de racionales). A la inversa, todo subgrupo localmente compacto de un grupo de Hausdorff es cerrado. Todo cociente de un grupo localmente compacto es localmente compacto. El producto de una familia de grupos localmente compactos es localmente compacto si y solo si todos los factores, salvo un número finito, son realmente compactos.

Los grupos topológicos son siempre completamente regulares como espacios topológicos. Los grupos localmente compactos tienen la propiedad más fuerte de ser normales .

Todo grupo localmente compacto que sea numerable en primer lugar es metrizable como grupo topológico (es decir, se le puede dar una métrica invariante por la izquierda compatible con la topología) y completo . Si además el espacio es numerable en segundo lugar , se puede elegir que la métrica sea propia. (Véase el artículo sobre grupos topológicos ).

En un grupo polaco G , el σ-álgebra de conjuntos nulos de Haar satisface la condición de cadena contable si y solo si G es localmente compacto. ^[1]

Para cualquier grupo abeliano localmente compacto (LCA) A , el grupo de homomorfismos continuos

Hom( A , S ¹ )

De A al grupo de círculos es nuevamente localmente compacto. La dualidad de Pontryagin afirma que este funtor induce una equivalencia de categorías.

LCA ^en → LCA.

Este funtor intercambia varias propiedades de los grupos topológicos. Por ejemplo, los grupos finitos corresponden a grupos finitos, los grupos compactos corresponden a grupos discretos y los grupos metrizables corresponden a uniones contables de grupos compactos (y viceversa en todas las afirmaciones).

Los grupos LCA forman una categoría exacta , siendo los monomorfismos admisibles subgrupos cerrados y los epimorfismos admisibles aplicaciones cocientes topológicas. Por lo tanto, es posible considerar el espectro de la K-teoría de esta categoría. Clausen (2017) ha demostrado que mide la diferencia entre la K-teoría algebraica de Z y R , los números enteros y los reales, respectivamente, en el sentido de que existe una secuencia de fibras de homotopía.

K( Z ) → K( R ) → K(LCA).

• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Campo completo  : estructura algebraica que es completa en relación con una métrica.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo localmente compacto
• Espacio localmente compacto  : tipo de espacio topológico en matemáticas
• Grupo cuántico localmente compacto  : un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo para los grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Grupo abeliano topológico  : grupo topológico cuyo grupo es abeliano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo topológico  – Estructura algebraica con adición, multiplicación y divisiónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Grupo topológico  – Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
• Módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo en el que las operaciones del anillo son continuas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Semigrupo topológico  – semigrupo con funcionamiento continuoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

• Clausen, Dustin (2017), Un enfoque de la teoría K para los mapas de Artin , arXiv : 1703.07842v2

• Folland, Gerald B. (1995), Un curso de análisis armónico abstracto , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Pontri︠a︡gin, Lev Semenovich (1939). Grupos topológicos. Traducido por Lehmer, Emma. Princeton University Press. OCLC  65707155.
• Weil, André (1940). L'int´egration dans les groupes topologiques et ses apps [ L'intégration dans les groupes topologiques et ses apps ] (en francés). París: Hermann. OCLC  490312990.
• Montgomery, Deane ; Zippin, Leo (1955). Grupos de transformación topológica. Interscience Publishers. ISBN 978-0-486-82449-9.OCLC 1019833944  .
• Hewitt, Edwin ; Ross, Kenneth A. (1963). "Análisis armónico abstracto". Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . Yo (115). doi :10.1007/978-3-662-26755-4. ISBN 978-3-662-24595-8. ISSN  0072-7830.
• Tao, Terence (17 de julio de 2014). El quinto problema de Hilbert y temas relacionados. Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 153. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/gsm/153. ISBN. 978-1-4704-1564-8.
• Tao, Terence (17 de agosto de 2011). Notas sobre grupos locales. Novedades.