condición de cadena contable

En la teoría del orden , se dice que un conjunto parcialmente ordenado X satisface la condición de cadena numerable , o que es ccc , si cada anticadena fuerte en X es numerable .

En realidad, existen dos condiciones: la de cadena numerable ascendente y la de cadena numerable descendente . Estas no son equivalentes. La condición de cadena numerable implica la condición de cadena numerable descendente; en otras palabras, ningún par de elementos tiene un límite inferior común.

Esto se denomina "condición de cadena numerable" en lugar del término más lógico "condición de anticadena numerable" por razones históricas relacionadas con ciertas cadenas de conjuntos abiertos en espacios topológicos y cadenas en álgebras booleanas completas , donde las condiciones de cadena a veces resultan ser equivalentes a las condiciones de anticadena. Por ejemplo, si κ es un cardinal , entonces en un álgebra booleana completa toda anticadena tiene un tamaño menor que κ si y solo si no existe una secuencia descendente de elementos de tamaño κ , por lo que las condiciones de cadena son equivalentes a las condiciones de anticadena.

En el enunciado del axioma de Martin se utilizan órdenes parciales y espacios que satisfacen el ccc .

En la teoría de forzamiento , se utilizan órdenes parciales ccc porque el forzamiento con cualquier conjunto genérico sobre dicho orden preserva los cardinales y las cofinalidades . Además, la propiedad ccc se preserva mediante iteraciones de soporte finito (véase forzamiento iterado ). Para más información sobre ccc en el contexto del forzamiento, véase Forzamiento (teoría de conjuntos) §  La condición de cadena numerable .

En términos más generales, si κ es un cardinal, se dice que un poset satisface la condición de cadena κ , también escrita como κ -cc, si toda anticadena fuerte tiene un tamaño menor que κ . La condición de cadena numerable es la condición de cadena ℵ ₁ .

Se dice que un espacio topológico satisface la condición de cadena numerable, o condición de Suslin , si el conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos no vacíos de X satisface la condición de cadena numerable, es decir, toda colección disjunta por pares de subconjuntos abiertos no vacíos de X es numerable. El nombre proviene del problema de Suslin .

• Todo espacio topológico separable posee la propiedad ccc. Además, un espacio producto de un número arbitrario de espacios separables posee la propiedad ccc.
• Un espacio métrico tiene la propiedad ccc si y solo si es separable.
• En general, un espacio topológico con ccc no tiene por qué ser separable. Por ejemplo, un cubo de Cantor.${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$con la topología de producto tiene el ccc para cualquier cardinal${\displaystyle \kappa }$, aunque no separable para${\displaystyle \kappa >{\mathfrak {c}}}$.
• Los espacios ccc paracompactos son Lindelöf .
• Un ejemplo de espacio topológico con la congruencia ccc es la recta real.