Cofinalidad

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , la cofinalidad cf( A ) de un conjunto parcialmente ordenado A es la menor de las cardinalidades de los subconjuntos cofinales de A. Formalmente, ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {cf} (A)=\inf\{|B|:B\subseteq A,(\forall x\in A)(\exists y\in B)(x\leq y)\}}$

Esta definición de cofinalidad se basa en el axioma de elección , ya que utiliza el hecho de que todo conjunto no vacío de números cardinales tiene un elemento mínimo. La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado A puede definirse alternativamente como el menor ordinal x tal que existe una función de x a A con imagen cofinal . Esta segunda definición tiene sentido sin el axioma de elección. Si se asume el axioma de elección, como será el caso en el resto de este artículo, entonces ambas definiciones son equivalentes.

La cofinalidad se puede definir de manera similar para un conjunto dirigido y se utiliza para generalizar la noción de una subsecuencia en una red .

• La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado con el elemento mayor es 1, ya que el conjunto que consta únicamente del elemento mayor es cofinal (y debe estar contenido en todos los demás subconjuntos cofinales).
  • En particular, la cofinalidad de cualquier ordinal finito distinto de cero, o de cualquier conjunto dirigido finito, es 1, puesto que dichos conjuntos tienen un elemento máximo. La cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1.
• Todo subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado debe contener todos los elementos máximos de dicho conjunto. Por lo tanto, la cofinalidad de un conjunto finito parcialmente ordenado es igual al número de sus elementos máximos.
  • En particular, dejemos${\displaystyle A}$ser un conjunto de tamaño${\displaystyle n,}$y consideremos el conjunto de subconjuntos de${\displaystyle A}$que no contiene más de${\displaystyle m}$elementos. Esto está parcialmente ordenado bajo inclusión y los subconjuntos con${\displaystyle m}$los elementos son máximos. Por lo tanto, la cofinalidad de este poset es${\displaystyle n}$elegir${\displaystyle m.}$
• Un subconjunto de los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$es cofinal en${\displaystyle \mathbb {N} }$si y solo si es infinito, y por lo tanto la cofinalidad de${\displaystyle \aleph _{0}}$es${\displaystyle \aleph _{0}.}$De este modo${\displaystyle \aleph _{0}}$es un cardenal común .
• La cofinalidad de los números reales con su orden usual es${\displaystyle \aleph _{0},}$desde${\displaystyle \mathbb {N} }$es cofinal en${\displaystyle \mathbb {R} .}$ El orden habitual de${\displaystyle \mathbb {R} }$no es isomorfo al orden${\displaystyle c,}$la cardinalidad de los números reales , que tiene cofinalidad estrictamente mayor que${\displaystyle \aleph _{0}.}$ Esto demuestra que la cofinalidad depende del orden; diferentes órdenes en el mismo conjunto pueden tener diferentes cofinalidades.

Si${\displaystyle A}$admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto${\displaystyle B}$que esté bien ordenado y sea cofinal en${\displaystyle A.}$Cualquier subconjunto de${\displaystyle B}$también está bien ordenado. Dos subconjuntos cofinales de${\displaystyle B}$con cardinalidad mínima (es decir, su cardinalidad es la cofinalidad de${\displaystyle B}$) no tienen por qué ser isomorfos en orden (por ejemplo, si${\displaystyle B=\omega +\omega ,}$entonces ambos${\displaystyle \omega +\omega }$y${\displaystyle \{\omega +n:n<\omega \}}$vistos como subconjuntos de${\displaystyle B}$tener la cardinalidad contable de la cofinalidad de${\displaystyle B}$pero no son isomorfos en orden). Pero subconjuntos cofinales de${\displaystyle B}$con un tipo de orden mínimo será isomorfo en cuanto al orden.

La cofinalidad de un ordinal${\displaystyle \alpha }$es el ordinal más pequeño${\displaystyle \delta }$ese es el tipo de orden de un subconjunto cofinal de${\displaystyle \alpha .}$ La cofinalidad de un conjunto de ordinales o cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de ese conjunto.

Por lo tanto, para un ordinal límite${\displaystyle \alpha ,}$existe un${\displaystyle \delta }$-secuencia estrictamente creciente indexada con límite${\displaystyle \alpha .}$ Por ejemplo, la cofinalidad de${\displaystyle \omega ^{2}}$es${\displaystyle \omega ,}$porque la secuencia${\displaystyle \omega \cdot m}$(dónde${\displaystyle m}$abarca los números naturales) tiende a${\displaystyle \omega ^{2};}$pero, de forma más general, cualquier ordinal límite contable tiene cofinalidad${\displaystyle \omega .}$ Un ordinal límite no contable puede tener cofinalidad${\displaystyle \omega }$como lo hace${\displaystyle \omega _{\omega }}$o una cofinalidad incontable.

La cofinalidad de 0 es 0. La cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite distinto de cero es un cardinal regular infinito.

Un ordinal regular es aquel que es igual a su cofinalidad. Un ordinal singular es cualquier ordinal que no es regular.

Todo ordinal regular es el ordinal inicial de un cardinal. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y, por lo tanto, también es inicial, pero no necesariamente es regular. Suponiendo el axioma de elección,${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$es regular para cada${\displaystyle \alpha .}$ En este caso, los ordinales${\displaystyle 0,1,\omega ,\omega _{1},}$y${\displaystyle \omega _{2}}$son regulares, mientras que${\displaystyle 2,3,\omega _{\omega },}$y${\displaystyle \omega _{\omega \cdot 2}}$son ordinales iniciales que no son regulares.

La cofinalidad de cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad de${\displaystyle \alpha }$es lo mismo que la cofinalidad de${\displaystyle \alpha .}$ Por lo tanto, la operación de cofinalidad es idempotente .

Si${\displaystyle \kappa }$es un número cardinal infinito, entonces${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$es el cardinal más pequeño tal que existe una función no acotada de${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$a${\displaystyle \kappa$ ;} ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$es también la cardinalidad del conjunto más pequeño de cardinales estrictamente menores cuya suma es${\displaystyle \kappa$ ;} más precisamente $${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\min \left\{|I|\$$ :\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \land \forall i\in I\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}.}

Que el conjunto anterior no sea vacío proviene del hecho de que $${\displaystyle \kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}}$$ es decir, la unión disjunta de${\displaystyle \kappa }$conjuntos unitarios. Esto implica inmediatamente que${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )\leq \kappa .}$ La cofinalidad de cualquier conjunto totalmente ordenado es regular, por lo que${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\operatorname {cf} (\operatorname {cf} (\kappa )).}$

Utilizando el teorema de Kőnig , se puede demostrar${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}}$y${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \left(2^{\kappa }\right)}$para cualquier cardinal infinito${\displaystyle \kappa .}$

La última desigualdad implica que la cofinalidad de la cardinalidad del continuo debe ser incontable. Por otro lado, $${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n},}$$ siendo el número ordinal ω el primer ordinal infinito, de modo que la cofinalidad de${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es card(ω) =${\displaystyle \aleph _{0}.}$ (En particular,${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es singular.) Por lo tanto, $${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.}$$

(Compárese con la hipótesis del continuo , que establece${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$)

Generalizando este argumento, se puede demostrar que para un ordinal límite${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\operatorname {cf} (\delta ).}$$

Por otro lado, si se cumple el axioma de elección , entonces para un sucesor o ordinal cero${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\delta })=\aleph _{\delta }.}$$

• Conjunto de clubes – Concepto de teoría de conjuntos 
• Ordinal inicial : tamaño de un conjunto posiblemente infinito. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento.