Ordinal límite

En teoría de conjuntos , un ordinal límite es un número ordinal que no es ni cero ni un ordinal sucesor . Alternativamente, un ordinal λ es un ordinal límite si hay un ordinal menor que λ, y siempre que β sea un ordinal menor que λ, entonces existe un ordinal γ tal que β < γ < λ. Todo número ordinal es cero, un ordinal sucesor o un ordinal límite.

Por ejemplo, el ordinal límite más pequeño es ω , el ordinal más pequeño mayor que todo número natural . Este es un ordinal límite porque para cualquier ordinal más pequeño (es decir, para cualquier número natural) n podemos encontrar otro número natural mayor que él (por ejemplo, n +1), pero aún menor que ω. El siguiente ordinal límite más pequeño es ω+ω. Esto se discutirá más adelante en el artículo.

Usando la definición de ordinales de von Neumann , cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños. La unión de un conjunto no vacío de ordinales que no tiene ningún elemento mayor es entonces siempre un ordinal límite. Usando la asignación cardinal de von Neumann , cada número cardinal infinito es también un ordinal límite.

Otras formas de definir ordinales límite son:

• Es igual al supremo de todos los ordinales inferiores a él, pero no es cero. (Compárese con un ordinal sucesor: el conjunto de ordinales inferiores a él tiene un máximo, por lo que el supremo es este máximo, el ordinal anterior).
• No es cero y no tiene elemento máximo.
• Se puede escribir en la forma ωα para α > 0. Es decir, en la forma normal de Cantor no hay un número finito como último término y el ordinal es distinto de cero.
• Es un punto límite de la clase de números ordinales, respecto a la topología de orden . (Los demás ordinales son puntos aislados .)

Existe cierta controversia sobre si el 0 debe clasificarse o no como un ordinal límite, ya que no tiene un predecesor inmediato; algunos libros de texto incluyen al 0 en la clase de ordinales límite ^[1] mientras que otros lo excluyen. ^[2]

Como la clase de números ordinales está bien ordenada , existe un ordinal límite infinito más pequeño; denotado por ω (omega). El ordinal ω es también el ordinal infinito más pequeño (sin tener en cuenta el límite ), ya que es el límite superior más pequeño de los números naturales . Por lo tanto, ω representa el tipo de orden de los números naturales. El siguiente ordinal límite por encima del primero es ω + ω = ω·2, que se generaliza a ω· n para cualquier número natural n . Tomando la unión (la operación suprema en cualquier conjunto de ordinales) de todos los ω·n, obtenemos ω·ω = ω ² , que se generaliza a ω ⁿ para cualquier número natural n . Este proceso se puede iterar aún más de la siguiente manera para producir:

${\displaystyle \omega ^{3},\omega ^{4},\ldots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}},\ldots }$

En general, todas estas definiciones recursivas a través de la multiplicación, exponenciación, exponenciación repetida, etc., dan como resultado ordinales límite. Todos los ordinales analizados hasta ahora siguen siendo ordinales contables . Sin embargo, no existe un esquema recursivamente enumerable para nombrar sistemáticamente todos los ordinales menores que el ordinal de Church-Kleene , que es un ordinal contable.

Más allá del numerable, el primer ordinal incontable se suele denotar ω ₁ . También es un ordinal límite.

Continuando, se puede obtener lo siguiente (todos los cuales ahora aumentan en cardinalidad):

${\displaystyle \omega _{2},\omega _{3},\ldots ,\omega _{\omega },\omega _{\omega +1},\ldots ,\omega _{\omega _{\omega }},\ldots }$

En general, siempre obtenemos un ordinal límite al tomar la unión de un conjunto no vacío de ordinales que no tiene ningún elemento máximo .

Los ordinales de la forma ω²α, para α > 0, son límites de límites, etc.

Las clases de ordinales sucesores y ordinales límite (de diversas cofinalidades ) así como el cero agotan toda la clase de ordinales, por lo que estos casos se utilizan a menudo en demostraciones por inducción transfinita o definiciones por recursión transfinita . Los ordinales límite representan una especie de "punto de inflexión" en tales procedimientos, en los que se deben utilizar operaciones límite como tomar la unión sobre todos los ordinales precedentes. En principio, se podría hacer cualquier cosa en los ordinales límite, pero tomar la unión es continuo en la topología de orden y esto suele ser deseable.

Si utilizamos la asignación cardinal de von Neumann , cada número cardinal infinito es también un ordinal límite (y esta es una observación apropiada, ya que cardinal deriva del latín cardo, que significa bisagra o punto de inflexión ): la prueba de este hecho se realiza simplemente mostrando que cada ordinal sucesor infinito es equinumeroso a un ordinal límite a través del argumento del Hotel Infinito .

Los números cardinales tienen su propia noción de sucesión y límite (todo se actualiza a un nivel superior).

Aditivamente indescomponible

Un ordinal límite α se denomina indescomponible aditivamente si no se puede expresar como la suma de ordinales β < α menores que α. Estos números son cualquier ordinal de la forma para β un ordinal. El más pequeño se escribe , el segundo se escribe , etc. ^[3]${\displaystyle \omega ^{\beta }}$${\displaystyle \gamma _{0}}$$Estilo de visualización: gamma__{1}$

Multiplicativamente indescomponible

Un ordinal límite α se llama multiplicativamente indescomponible si no se puede expresar como el producto de ordinales β < α menores que α. Estos números son cualquier ordinal de la forma para β un ordinal. El más pequeño se escribe , el segundo se escribe , etc. ^[3]${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\beta }}}$${\displaystyle \delta _{0}}$$estilo de visualización {\delta _{1}}$

Exponencialmente indescomponible y más allá

El término "exponencialmente indecomponible" no se refiere a ordinales no expresables como el producto exponencial (?) de ordinales β < α menores que α, sino a los números épsilon , "tetracionalmente indecomponible" se refiere a los números zeta, "pentacionalmente indecomponible" se refiere a los números eta, etc. ^[3]

• Aritmética ordinal
• Límite cardinal
• Secuencia fundamental (ordinales)