Límite cardinal

En matemáticas , los cardinales límite son ciertos números cardinales . Un número cardinal λ es un cardinal límite débil si λ no es un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que no se puede "llegar" a λ desde otro cardinal mediante operaciones sucesoras repetidas. A estos cardinales a veces se los llama simplemente "cardinales límite" cuando el contexto es claro.

Un cardinal λ es un cardinal límite fuerte si no se puede alcanzar λ mediante operaciones repetidas de conjuntos potencia . Esto significa que λ es distinto de cero y, para todo κ < λ , 2 ^κ < λ . Todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil, porque κ ⁺ ≤ 2 ^κ para todo cardinal κ , donde κ ⁺ denota el cardinal sucesor de κ .

El primer cardenal infinito, ( aleph-cero ), es un cardenal límite fuerte y, por lo tanto, también un cardenal límite débil. $estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Una forma de construir cardinales límite es mediante la operación de unión: es un cardenal límite débil, definido como la unión de todos los alephs anteriores a él; y en general, para cualquier ordinal límite λ es un cardenal límite débil. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$

La operación ב se puede utilizar para obtener cardinales límite fuertes. Esta operación es una función de ordinales a cardinales definida como

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$(el ordinal más pequeño equinumero con el conjunto potencia)

Si λ es un ordinal límite,${\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

El cardenal

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω. De manera más general, dado cualquier ordinal α , el cardinal

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

es un cardinal límite fuerte. Por lo tanto, hay cardinales límite fuertes arbitrariamente grandes.

Si se cumple el axioma de elección , todo número cardinal tiene un ordinal inicial . Si ese ordinal inicial es entonces el número cardinal tiene la forma para el mismo subíndice ordinal λ . El ordinal λ determina si es un cardinal límite débil. Porque si λ es un ordinal sucesor entonces no es un límite débil. Por el contrario, si un cardinal κ es un cardinal sucesor, digamos entonces Por lo tanto, en general, es un cardinal límite débil si y solo si λ es cero o un ordinal límite. ${\displaystyle \omega _ {\lambda}\,,}$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$${\displaystyle \kappa = (\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.}$${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$

Aunque el subíndice ordinal nos dice si un cardinal es un límite débil, no nos dice si un cardinal es un límite fuerte. Por ejemplo, ZFC prueba que es un cardinal límite débil, pero ni prueba ni refuta que es un cardinal límite fuerte (Hrbacek y Jech 1999:168). La hipótesis generalizada del continuo establece que para cada cardinal infinito κ . Bajo esta hipótesis, las nociones de cardinales límite débiles y fuertes coinciden. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \kappa ^{+}=2^{\kappa }\,}$

Lo anterior define una noción de "inaccesibilidad": estamos tratando con casos en los que ya no es suficiente hacer un número finito de iteraciones de las operaciones de sucesor y conjunto potencia; de ahí la frase "no se puede alcanzar" en ambas definiciones intuitivas anteriores. Pero la "operación de unión" siempre proporciona otra forma de "acceder" a estos cardinales (y de hecho, tal es también el caso de los ordinales límite). Se pueden definir nociones más fuertes de inaccesibilidad utilizando cofinalidad . Para un cardinal límite débil (respectivamente fuerte) κ el requisito es que cf( κ ) = κ (es decir, κ sea regular ) de modo que κ no se pueda expresar como una suma (unión) de menos de κ cardinales más pequeños. Un cardinal de este tipo se llama cardinal débilmente (respectivamente fuertemente) inaccesible . Los ejemplos anteriores son ambos cardinales singulares de cofinalidad ω y, por lo tanto, no son inaccesibles.

$estilo de visualización {\aleph _{0}}$sería un cardinal inaccesible de ambas "fuerzas", excepto que la definición de inaccesible requiere que sean incontables. La teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) ni siquiera puede probar la consistencia de la existencia de un cardinal inaccesible de cualquier tipo por encima de , debido al teorema de incompletitud de Gödel . Más específicamente, si es débilmente inaccesible entonces . Estos forman el primero en una jerarquía de cardinales grandes . $estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\estilo de visualización \kappa}$${\displaystyle L_{\kappa}\modelos ZFC}$

• Número cardinal

• Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999), Introducción a la teoría de conjuntos (3.ª ed.), CRC Press, ISBN 0-8247-7915-0
• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-44761-X, ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Tinta infinita sobre cardenales