Campo localmente compacto

Uno de los teoremas estructurales útiles para espacios vectoriales sobre cuerpos localmente compactos es que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una única clase de equivalencia de normas: la norma del supremo . ^{[ 2 ] págs. 58-59}

Dada una extensión de campo finita${\displaystyle K/F}$sobre un campo localmente compacto${\displaystyle F}$, existe como máximo una norma de campo única${\displaystyle |\cdot |_{K}}$en${\displaystyle K}$extendiendo la norma de campo${\displaystyle |\cdot |_{F}}$; eso es,

${\displaystyle |f|_{K}=|f|_{F}}$

a pesar de${\displaystyle f\in K}$que está en la imagen de${\displaystyle F\hookrightarrow K}$. Nótese que esto se deduce del teorema anterior y del siguiente truco: si${\displaystyle \|\cdot \|_{1},\|\cdot \|_{2}}$son dos normas equivalentes, y

${\displaystyle \|x\|_{1}<\|x\|_{2}}$

entonces para una constante fija${\displaystyle c_{1}}$existe un${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} }$de tal manera que

${\displaystyle \left({\frac {\|x\|_{1}}{\|x\|_{2}}}\right)^{N}<{\frac {1}{c_{1}}}}$

a pesar de${\displaystyle N\geq N_{0}}$ya que la secuencia generada a partir de las potencias de${\displaystyle N}$converger a${\displaystyle 0}$.

Todos los campos finitos son localmente compactos, ya que pueden dotarse de la topología discreta . En particular, cualquier campo con la topología discreta es localmente compacto, puesto que cada punto es su entorno y, además, la clausura de dicho entorno; por lo tanto, es compacto.

Los principales ejemplos de campos localmente compactos son los racionales p-ádicos.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y extensiones finitas${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$Cada uno de estos son ejemplos de campos locales . Nótese el cierre algebraico.${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}}$y su finalización${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$no son campos localmente compactos ^{[ 2 ] pág. 72} con su topología estándar.