Extensiones finitas de campos locales

En la teoría algebraica de números , mediante la completitud, el estudio de la ramificación de un ideal primo a menudo se puede reducir al caso de cuerpos locales donde se puede llevar a cabo un análisis más detallado con la ayuda de herramientas como los grupos de ramificación .

En este artículo, un campo local no es arquimediano y tiene un campo residual finito .

Dejar${\displaystyle L/K}$sea ​​una extensión de Galois finita de campos locales no arquimedianos con campos residuales finitos${\displaystyle \ell /k}$y el grupo Galois${\displaystyle G}$. Entonces, las siguientes son equivalentes.

• (i)${\displaystyle L/K}$no está ramificado .
• (ii)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$es un campo, donde${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es el ideal máximo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.
• (iii)${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv) El subgrupo de inercia de${\displaystyle G}$es trivial.
• (v) Si${\displaystyle \pi }$es un elemento uniformador de${\displaystyle K}$, entonces${\displaystyle \pi }$es también un elemento uniformador de${\displaystyle L}$.

Cuando${\displaystyle L/K}$no está ramificado, por (iv) (o (iii)), G puede identificarse con${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$, que es cíclico finito .

Lo anterior implica que existe una equivalencia de categorías entre las extensiones finitas no ramificadas de un cuerpo local K y las extensiones separables finitas del cuerpo residual de K. 

De nuevo, dejemos${\displaystyle L/K}$sea ​​una extensión de Galois finita de campos locales no arquimedianos con campos residuales finitos${\displaystyle l/k}$y el grupo Galois${\displaystyle G}$. Los siguientes son equivalentes.

• ${\displaystyle L/K}$está totalmente ramificado .
• ${\displaystyle G}$coincide con su subgrupo de inercia.
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$dónde${\displaystyle \pi }$es una raíz de un polinomio de Eisenstein .
• La norma${\displaystyle N(L/K)}$contiene un uniformizador de${\displaystyle K}$.

• El lema de Abhyankar
• Morfismo no ramificado

• Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 . 
• Weiss, Edwin (1976). Teoría algebraica de números (2.ª  ed. sin modificaciones). Chelsea Publishing . ISBN 0-8284-0293-0. Zbl 0348.12101 .