Colímite y límite de homotopía

El concepto de colímite de homotopía ^{[ 1 ] págs. 4-8} es una generalización de los pushouts de homotopía , como el cilindro de mapeo utilizado para definir una cofibración . Esta noción está motivada por la siguiente observación: el pushout (ordinario)

${\displaystyle D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

es el espacio obtenido al contraer la ( n − 1)-esfera (que es el límite del disco n- dimensional) a un solo punto. Este espacio es homeomorfo a la n -esfera S ⁿ . Por otro lado, el empuje

${\displaystyle pt\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

es un punto. Por lo tanto, aunque el disco ( contraíble ) D ⁿ fue reemplazado por un punto (que es homotópicamente equivalente al disco), los dos empujes no son homotópicamente (o débilmente ) equivalentes.

Por lo tanto, el pushout no se ajusta bien a un principio de la teoría de la homotopía, que considera que los espacios débilmente equivalentes contienen la misma información: si uno (o más) de los espacios utilizados para formar el pushout se reemplaza por un espacio débilmente equivalente, no se garantiza que el pushout siga siendo débilmente equivalente. El pushout homotópico corrige este defecto.

El empuje homotópico de dos mapas${\displaystyle A\leftarrow B\rightarrow C}$de espacios topológicos se define como

${\displaystyle A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C}$,

Es decir, en lugar de pegar B en A y C , se pegan dos copias de un cilindro en B y sus extremos se pegan a A y C. Por ejemplo, el colímite de homotopía del diagrama (cuyos mapas son proyecciones).

${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

es la unión${\displaystyle X_{0}*X_{1}}$.

Se puede demostrar que el pushout homotópico no comparte el defecto del pushout ordinario: al reemplazar A , B y/o C por un espacio homotópico, el pushout homotópico también será homotópico. En este sentido, el pushout homotópico trata los espacios homotópicos tan bien como el pushout (ordinario) lo hace con los espacios homeomorfos.

Otro ejemplo útil y motivador de un colímite de homotopía es la construcción de modelos para el colímite de homotopía del diagrama.

${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y}$

de espacios topológicos. Hay varias maneras de modelar este colímite: la primera es considerar el espacio

${\displaystyle \left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim }$

dónde${\displaystyle \sim }$es la relación de equivalencia que identifica

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}}$

que puede describirse pictóricamente como la imagen

Dado que podemos interpretar de manera similar el diagrama anterior como el diagrama conmutativo , a partir de las propiedades de las categorías, obtenemos un diagrama conmutativo.

dando un colímite de homotopía. Podríamos suponer que esto se parece a

pero observe que hemos introducido un nuevo ciclo para completar los nuevos datos de la composición. Esto crea un problema técnico que puede resolverse utilizando técnicas simpliciales: proporcionando un método para construir un modelo para colímites de homotopía. El nuevo diagrama, que forma el colímite de homotopía del diagrama de composición de forma gráfica, se representa como

dando otro modelo del colímite de homotopía que es homotópicamente equivalente al diagrama original (sin la composición de${\displaystyle g\circ f}$) dado arriba.

El colímite homotópico de una secuencia de espacios

${\displaystyle X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,}$

es el telescopio de mapeo . ^{[ 3 ]} Un ejemplo de cálculo es tomar el colímite de homotopía de una secuencia de cofibraciones . El colímite de ^{[ 1 ] pág. 62} este diagrama da un colímite de homotopía. Esto implica que podríamos calcular el colímite de homotopía de cualquier telescopio de mapeo reemplazando los mapas con cofibraciones.

Se puede tratar ejemplos como el telescopio de mapeo y el empuje homotópico en igualdad de condiciones considerando un diagrama I de espacios, donde I es alguna categoría de "indexación" . Esto es un functor.

${\displaystyle X:I\to Spaces,}$

Es decir, a cada objeto i en I se le asigna un espacio X _i y se establecen correspondencias entre ellos, según las correspondencias en I. La categoría de tales diagramas se denomina Espacios ^I.

Existe un functor natural llamado diagonal,

${\displaystyle \Delta _{0}:Spaces\to Spaces^{I}}$

que envía cualquier espacio X al diagrama que consiste en X en todas partes (y la identidad de X como mapas entre ellos). En la teoría de categorías (ordinaria), el adjunto derecho de este functor es el límite . El límite de homotopía se define alterando esta situación: es el adjunto derecho de

${\displaystyle \Delta :Spaces\to Spaces^{I}}$

que envía un espacio X al diagrama I que en algún objeto i da

${\displaystyle X\times |N(I/i)|}$

Aquí I / i es la categoría de rebanadas (sus objetos son flechas j → i , donde j es cualquier objeto de I ), N es el nervio de esta categoría y |-| es la realización topológica de este conjunto simplicial . ^{[ 4 ]}

De manera similar, se puede definir un colímite como el adjunto izquierdo del functor diagonal Δ ₀ dado anteriormente. Para definir un colímite de homotopía, debemos modificar Δ ₀ de una manera diferente. Un colímite de homotopía se puede definir como el adjunto izquierdo de un functor Δ  : Espacios → Espacios ^I donde

Δ ( X )( i ) = Hom _Spaces ( | N ( I ^op / i ) | , X ) ,

donde I ^op es la categoría opuesta de I. Aunque esto no es lo mismo que el functor Δ anterior, comparte la propiedad de que si la realización geométrica de la categoría nerviosa ( | N (-) | ) se reemplaza con un espacio de puntos, recuperamos el functor original Δ ₀ .