Categoría de functor

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría functor${\displaystyle D^{C}}$es una categoría donde los objetos son los functores${\displaystyle F:C\to D}$y los morfismos son transformaciones naturales${\displaystyle \eta :F\to G}$entre los functores (aquí,${\displaystyle G:C\to D}$es otro objeto en la categoría). Las categorías de funtores son de interés por dos razones principales:

• Muchas categorías comunes son categorías de funtores (disfrazadas), por lo que cualquier afirmación demostrada para categorías de funtores generales es ampliamente aplicable;
• Cada categoría se incrusta en una categoría de functor (a través de la incrustación de Yoneda ); la categoría de functor suele tener propiedades mejores que la categoría original, lo que permite ciertas operaciones que no estaban disponibles en el entorno original.

Suponer${\displaystyle C}$es una categoría pequeña (es decir, los objetos y morfismos forman un conjunto en lugar de una clase propiamente dicha ) y${\displaystyle D}$es una categoría arbitraria. La categoría de functores de${\displaystyle C}$a${\displaystyle D}$, escrito como Fun(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$), Funct(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$),${\displaystyle [C,D]}$, o${\displaystyle D^{C}}$, tiene como objetos los functores covariantes de${\displaystyle C}$a${\displaystyle D}$y como morfismos las transformaciones naturales entre dichos functores. Nótese que las transformaciones naturales pueden componerse: si${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$es una transformación natural del functor${\displaystyle F:C\to D}$al functor${\displaystyle G:C\to D}$, y ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$es una transformación natural del functor${\displaystyle G}$al functor${\displaystyle H}$, luego la composición${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$define una transformación natural de${\displaystyle F}$a${\displaystyle H}$. Con esta composición de transformaciones naturales (conocida como composición vertical, véase transformación natural ), ${\displaystyle D^{C}}$satisface los axiomas de una categoría.

De manera completamente análoga, también se puede considerar la categoría de todos los functores contravariantes de${\displaystyle C}$a${\displaystyle D}$; lo escribimos como Funct(${\displaystyle C^{\text{op}},D}$).

Si${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son ambas categorías preaditivas (es decir, sus conjuntos de morfismos son grupos abelianos y la composición de morfismos es bilineal ), entonces podemos considerar la categoría de todos los functores aditivos de${\displaystyle C}$a${\displaystyle D}$, denotado por Add(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$).

• Si${\displaystyle I}$es una categoría discreta pequeña (es decir, sus únicos morfismos son los morfismos identidad), entonces un functor de${\displaystyle I}$a${\displaystyle C}$esencialmente consiste en una familia de objetos de${\displaystyle C}$, indexado por${\displaystyle I}$; la categoría de functores${\displaystyle C^{I}}$puede identificarse con la categoría de producto correspondiente: sus elementos son familias de objetos en${\displaystyle C}$y sus morfismos son familias de morfismos en${\displaystyle C}$.

• Una categoría de flechas${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$(cuyos objetos son los morfismos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y cuyos morfismos son cuadrados conmutativos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) es solo${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$, donde 2 es la categoría con dos objetos y sus morfismos identidad, así como una flecha de un objeto al otro (pero no otra flecha en sentido contrario).
• Un grafo dirigido consta de un conjunto de flechas y un conjunto de vértices, y dos funciones del conjunto de flechas al conjunto de vértices, especificando el vértice inicial y final de cada flecha. La categoría de todos los grafos dirigidos no es, por lo tanto, otra cosa que la categoría de functores.${\displaystyle {\textbf {Establecer}}^{C}}$, dónde${\displaystyle C}$es la categoría con dos objetos conectados por dos morfismos paralelos (origen y destino), y Set denota la categoría de conjuntos . Cuando se ven desde esta perspectiva, tales grafos dirigidos a menudo se denominan carcajes .
• Cualquier grupo${\displaystyle G}$puede considerarse como una categoría de un solo objeto en la que todo morfismo es invertible. La categoría de todos${\displaystyle G}$-sets es lo mismo que la categoría de functor Set^{${\displaystyle G}$}Las transformaciones naturales son${\displaystyle G}$-mapas .
• De forma similar al ejemplo anterior, la categoría de representaciones K -lineales del grupo${\displaystyle G}$es lo mismo que la categoría de functores Vect _K^{${\displaystyle G}$}(donde Vect _K denota la categoría de todos los espacios vectoriales sobre el cuerpo K ).
• Cualquier anillo${\displaystyle R}$puede considerarse como una categoría preaditiva de un solo objeto; la categoría de módulos izquierdos sobre${\displaystyle R}$es lo mismo que la categoría de functor aditivo Add(${\displaystyle R}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) (dónde${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$denota la categoría de grupos abelianos ), y la categoría de derechos${\displaystyle R}$-módulos es Agregar(${\displaystyle R^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). Debido a este ejemplo, para cualquier categoría preaditiva${\displaystyle C}$, la categoría Agregar(${\displaystyle C}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) a veces se denomina la "categoría de módulos izquierdos sobre${\displaystyle C}$" y agregar(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) es la "categoría de módulos correctos sobre${\displaystyle C}$".
• La categoría de prehaces en un espacio topológico${\displaystyle X}$es una categoría de funtores: convertimos el espacio topológico en una categoría${\displaystyle C}$tener los conjuntos abiertos en${\displaystyle X}$como objetos y un único morfismo de${\displaystyle U}$a${\displaystyle V}$si y solo si${\displaystyle U}$está contenido en${\displaystyle V}$. La categoría de prehaces de conjuntos (grupos abelianos, anillos) en${\displaystyle X}$es entonces lo mismo que la categoría de functores contravariantes de${\displaystyle C}$a${\displaystyle {\textbf {Establecer}}}$(o${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$o${\displaystyle {\textbf {Anillo}}}$). Debido a este ejemplo, la categoría Funct(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Establecer}}}$) a veces se denomina la " categoría de prehaces de conjuntos en${\displaystyle C}$"incluso para categorías generales${\displaystyle C}$que no surgen de un espacio topológico. Para definir haces en una categoría general${\displaystyle C}$, se necesita más estructura: una topología de Grothendieck en${\displaystyle C}$. (Algunos autores se refieren a categorías que son equivalentes a${\displaystyle {\textbf {Establecer}}^{C}}$como categorías de prehaz . ^{[ 1 ]} )

La mayoría de las construcciones que se pueden realizar en${\displaystyle D}$también se puede realizar en${\displaystyle D^{C}}$al realizarlos "componente por componente", por separado para cada objeto en${\displaystyle C}$. Por ejemplo, si dos objetos cualesquiera${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$en${\displaystyle D}$tener un producto${\displaystyle X\times Y}$, entonces cualesquiera dos functores${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$en${\displaystyle D^{C}}$tener un producto${\displaystyle F\times G}$, definido por${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ para cada objeto${\displaystyle c}$en${\displaystyle C}$. De manera similar, si${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$es una transformación natural y cada${\displaystyle \eta _{c}}$tiene un núcleo${\displaystyle K_{c}}$en la categoría${\displaystyle D}$, entonces el núcleo de${\displaystyle \eta }$en la categoría de functores${\displaystyle D^{C}}$es el functor${\displaystyle K}$con${\displaystyle K(c)=K_{c}}$para cada objeto${\displaystyle c}$en${\displaystyle C}$.

Como consecuencia, tenemos la regla general de que la categoría de functores${\displaystyle D^{C}}$comparte la mayoría de las propiedades "agradables" de${\displaystyle D}$:

• si${\displaystyle D}$es completo (o co-completo), entonces también lo es${\displaystyle D^{C}}$;
• si${\displaystyle D}$es una categoría abeliana , entonces también lo es${\displaystyle D^{C}}$;

También tenemos:

• si${\displaystyle C}$es cualquier categoría pequeña, entonces la categoría${\displaystyle {\textbf {Establecer}}^{C}}$de prehazillos es un topos .

Así pues, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir de inmediato que las categorías de grafos dirigidos,${\displaystyle G}$Los conjuntos y prehaces en un espacio topológico son todos topoi completos y cocompletos, y que las categorías de representaciones de${\displaystyle G}$, módulos sobre el anillo${\displaystyle R}$y prehaces de grupos abelianos en un espacio topológico${\displaystyle X}$son todos abelianos, completos y cocompletos.

La incrustación de la categoría${\displaystyle C}$en una categoría de functores que se mencionó anteriormente utiliza el lema de Yoneda como su herramienta principal. Para cada objeto${\displaystyle X}$de${\displaystyle C}$, dejar${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$sea ​​el functor representable contravariante de${\displaystyle C}$a${\displaystyle {\textbf {Establecer}}}$El lema de Yoneda establece que la asignación

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

es una incrustación completa de la categoría${\displaystyle C}$en la categoría Funct(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Establecer}}}$). Entonces${\displaystyle C}$naturalmente se encuentra dentro de un topos.

Lo mismo puede hacerse para cualquier categoría preaditiva.${\displaystyle C}$: Yoneda luego produce una incrustación completa de${\displaystyle C}$en la categoría de functor Add(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). Entonces${\displaystyle C}$naturalmente se ubica dentro de una categoría abeliana.

La intuición mencionada anteriormente (que las construcciones que se pueden llevar a cabo en${\displaystyle D}$puede ser "elevado" a${\displaystyle D^{C}}$) se puede precisar de varias maneras; la formulación más concisa utiliza el lenguaje de los functores adjuntos . Todo functor${\displaystyle F:D\to E}$induce un functor${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$(por composición con${\displaystyle F}$). Si${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$es un par de functores adjuntos, entonces${\displaystyle F^{C}}$y${\displaystyle G^{C}}$También es un par de functores adjuntos.

La categoría de functores${\displaystyle D^{C}}$tiene todas las propiedades formales de un objeto exponencial ; en particular los functores de${\displaystyle E\times C\to D}$ se encuentran en una correspondencia natural uno a uno con los functores de${\displaystyle E}$a${\displaystyle D^{C}}$. La categoría${\displaystyle {\textbf {Gato}}}$Por lo tanto, el conjunto de todas las categorías pequeñas con functores como morfismos es una categoría cartesiana cerrada .

• Diagrama (teoría de categorías)