Subcategoría

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una subcategoría de una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría${\displaystyle {\mathcal {S}}}$cuyos objetos son objetos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y cuyos morfismos son morfismos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$con las mismas identidades y composición de morfismos. Intuitivamente, una subcategoría de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría obtenida de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$"Eliminando" algunos de sus objetos y flechas.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría. Una subcategoría${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es dado por

• una subcolección de objetos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, denotado${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$,
• una subcolección de morfismos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, denotado${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$.

de tal manera que

• por cada${\displaystyle X}$en${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$, el morfismo identidad id_{${\displaystyle X}$}está en${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$,
• para cada morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$en${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$, tanto la fuente${\displaystyle X}$y el objetivo${\displaystyle Y}$están en${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$,
• para cada par de morfismos${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$en${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$el compuesto${\displaystyle f\circ g}$está en${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$siempre que se defina.

Estas condiciones garantizan que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es una categoría en sí misma: su colección de objetos es${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {S}})}$, su colección de morfismos es${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {S}})}$y sus identidades y composición son como en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Existe un functor fiel obvio.${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$, llamado functor de inclusión , que toma objetos y morfismos en sí mismos.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ser una subcategoría de una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Decimos que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es unsubcategoría completa de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$si para cada par de objetos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _ {\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _ {\mathcal {C}}(X,Y).}$

Una subcategoría completa es aquella que incluye todos los morfismos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$entre objetos de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$Para cualquier colección de objetos${\displaystyle A}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, existe una subcategoría completa única de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$cuyos objetos son los de${\displaystyle A}$.

• La categoría de conjuntos finitos constituye una subcategoría completa de la categoría de conjuntos .
• La categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son biyecciones forma una subcategoría no completa de la categoría de conjuntos.
• La categoría de grupos abelianos constituye una subcategoría completa de la categoría de grupos .
• La categoría de anillos (cuyos morfismos son homomorfismos de anillos que preservan la unidad ) forma una subcategoría no completa de la categoría de rngs .
• Para un campo${\displaystyle K}$, la categoría de${\displaystyle K}$- Los espacios vectoriales forman una subcategoría completa de la categoría de (izquierda o derecha)${\displaystyle K}$- módulos .

Dada una subcategoría${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, el functor de inclusión${\displaystyle I:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}}$es a la vez un functor fiel e inyectivo sobre objetos. Es completo si y solo si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es una subcategoría completa.

Algunos autores definen una incrustación como un functor completo y fiel . Dicho functor es necesariamente inyectivo sobre objetos salvo isomorfismo . Por ejemplo, la incrustación de Yoneda es una incrustación en este sentido.

Algunos autores definen una incrustación como un functor completo y fiel que es inyectivo sobre los objetos. ^{[ 1 ]}

Otros autores definen un functor como una incrustación si es fiel e inyectivo sobre los objetos. De manera equivalente,${\displaystyle F}$es una incrustación si es inyectiva en morfismos. Un functor${\displaystyle F}$Se denomina entonces incrustación completa si es un functor completo y una incrustación.

Con las definiciones del párrafo anterior, para cualquier incrustación (completa)${\displaystyle F:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$la imagen de${\displaystyle F}$es una subcategoría (completa)${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, y${\displaystyle F}$induce un isomorfismo de categorías entre${\displaystyle {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Si${\displaystyle F}$es un functor completo y fiel pero no necesariamente inyectivo en objetos, entonces la imagen de${\displaystyle F}$es equivalente a${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

En algunas categorías, también se puede hablar de morfismos de la categoría como incrustaciones .

Una subcategoría${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Se dice que es isomorfismo-cerrado o completo si cada isomorfismo${\displaystyle k:X\to Y}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle Y}$está en${\displaystyle {\mathcal {S}}}$también pertenece a${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Se dice que una subcategoría completa cerrada por isomorfismo es estrictamente completa .

Una subcategoría de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es amplio o lluf (un término propuesto por primera vez por Peter Freyd ^{[ 2 ]} ) si contiene todos los objetos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 3 ]} Una subcategoría amplia normalmente no está completa: la única subcategoría amplia y completa de una categoría es esa misma categoría.

Una subcategoría de Serre es una subcategoría llena no vacía.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de una categoría abeliana${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de tal manera que para todas las secuencias exactas cortas

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle M}$pertenece a${\displaystyle {\mathcal {S}}}$si y solo si ambos${\displaystyle M'}$y ${\displaystyle M''}$hacer. Esta noción surge de la teoría C de Serre .

• Subcategoría reflectante
• Categoría exacta , una subcategoría completa cerrada en extensiones.