Funtores completos y fieles

En teoría de categorías , un functor fiel es un functor inyectivo sobre conjuntos hom , y un functor completo es sobreyectivo sobre conjuntos hom. Un functor que posee ambas propiedades se denomina functor totalmente fiel .

Explícitamente, sean C y D categorías ( localmente pequeñas ) y sea F : C → D un functor de C a D. El functor F induce una función 

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$

para cada par de objetos X e Y en C. Se dice que el functor F es

• fiel si F _{X , Y} es inyectiva ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• completo si F _{X , Y} es sobreyectivo ^{[ 2 ] [ 3 ]}
• completamente fiel (= completo y fiel ) si F _{X , Y} es biyectiva

para cada X e Y en C.

Un functor fiel no necesita ser inyectivo en objetos o morfismos. ^{[ 4 ]} Es decir, dos objetos X y X ′ pueden mapearse al mismo objeto en D (por eso el rango de un functor completo y fiel no es necesariamente isomorfo a C ), y dos morfismos f  : X → Y y f ′  : X ′ → Y ′ (con dominios/codominios diferentes) pueden mapearse al mismo morfismo en D . De igual modo, un functor completo no necesita ser sobreyectivo en objetos o morfismos. Puede haber objetos en D que no sean de la forma FX para algún X en C . Los morfismos entre tales objetos claramente no pueden provenir de morfismos en C .

Un functor completo y fiel es necesariamente inyectivo en objetos salvo isomorfismo. Es decir, si F  : C → D es un functor completo y fiel, entonces .${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$${\displaystyle X\cong Y}$

• El functor olvidadizo U  : Grp → Set asigna grupos a su conjunto subyacente, "olvidando" la operación de grupo. U es fiel porque dos homomorfismos de grupo con los mismos dominios y codominios son iguales si están dados por las mismas funciones en los conjuntos subyacentes. Este functor no es completo, ya que existen funciones entre los conjuntos subyacentes de grupos que no son homomorfismos de grupo. Una categoría con un functor fiel a Set es (por definición) una categoría concreta ; en general, ese functor olvidadizo no es completo.
• El functor de inclusión Ab → Grp es totalmente fiel, ya que Ab (la categoría de grupos abelianos ) es por definición la subcategoría completa de Grp inducida por los grupos abelianos.

La noción de que un functor sea "completo" o "fiel" no se traduce a la noción de una (∞, 1)-categoría. En una (∞, 1)-categoría, las aplicaciones entre dos objetos cualesquiera están dadas por un espacio solo hasta homotopía. Dado que la noción de inyección y sobreyección no son nociones invariantes por homotopía (consideremos una incrustación de intervalo en los números reales frente a una aplicación de intervalo a un punto), no tenemos la noción de que un functor sea "completo" o "fiel". Sin embargo, podemos definir un functor de cuasicategorías como completamente fiel si para cada X e Y en C, la aplicación es una equivalencia débil .${\displaystyle F_{X,Y}}$

• Subcategoría completa
• Equivalencia de categorías