Categoría de coma

Supongamos que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$son categorías y${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$(para origen y destino) son functores :

Podemos formar la categoría coma${\displaystyle (S\downarrow T)}$como sigue:

• Todos los objetos son tríos.${\displaystyle (A,B,h)}$con${\displaystyle A}$un objeto en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,${\displaystyle B}$un objeto en${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$un morfismo en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
• Los morfismos de${\displaystyle (A,B,h)}$a${\displaystyle (A',B',h')}$son todos pares${\displaystyle (f,g)}$dónde${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$y${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$son morfismos en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$respectivamente, de modo que el siguiente diagrama conmuta :

Los morfismos se componen tomando${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$ser${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$, siempre que se defina esta última expresión. El morfismo identidad en un objeto${\displaystyle (A,B,h)}$es${\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})}$.

El primer caso especial se produce cuando${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$, el functor${\displaystyle S}$es el functor identidad y${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$(la categoría con un objeto${\displaystyle *}$y un morfismo). Entonces${\displaystyle T(*)=A_{*}}$para algún objeto${\displaystyle A_{*}}$en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

En este caso, la categoría de coma está escrita${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$y a menudo se la denomina categoría de rebanada sobre${\displaystyle A_{*}}$o la categoría de objetos más${\displaystyle A_{*}}$Los objetos${\displaystyle (A,*,h)}$se puede simplificar a pares${\displaystyle (A,h)}$, dónde${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$. A veces,${\displaystyle h}$se denota por${\displaystyle \pi _{A}}$Un morfismo${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$de${\displaystyle (A,\pi _{A})}$a${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$En la categoría de rebanada, se puede simplificar a una flecha.${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$haciendo que el siguiente diagrama conmute:

El concepto dual de una categoría de rebanada es una categoría de co-rebanada. Aquí,${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$,${\displaystyle S}$tiene dominio${\displaystyle {\textbf {1}}}$y${\displaystyle T}$es un functor identidad.

En este caso, la categoría de coma se escribe a menudo${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$, dónde${\displaystyle B_{*}=S(*)}$es el objeto de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$seleccionado por${\displaystyle S}$Se denomina categoría coslice con respecto a${\displaystyle B_{*}}$o la categoría de objetos bajo${\displaystyle B_{*}}$Los objetos son pares.${\displaystyle (B,\iota _{B})}$con${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$. Dado${\displaystyle (B,\iota _{B})}$y${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$, un morfismo en la categoría coslice es un mapa${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$haciendo que el siguiente diagrama conmute:

${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$son functores identidad en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(entonces${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$).

En este caso, la categoría de coma es la categoría de flecha.${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$Sus objetos son los morfismos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y sus morfismos son cuadrados conmutativos en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 1 ]}

En el caso de la categoría de rebanada o co-rebanada, el functor identidad puede ser reemplazado por algún otro functor; esto produce una familia de categorías particularmente útiles en el estudio de functores adjuntos . Por ejemplo, si${\displaystyle T}$es el functor olvidadizo que mapea un grupo abeliano a su conjunto subyacente , y${\displaystyle s}$es algún conjunto fijo (considerado como un functor de 1 ), entonces la categoría coma${\displaystyle (s\downarrow T)}$tiene objetos que son mapas de${\displaystyle s}$a un conjunto subyacente a un grupo. Esto se relaciona con el adjunto izquierdo de${\displaystyle T}$, que es el functor que asigna un conjunto al grupo abeliano libre que tiene ese conjunto como base. En particular, el objeto inicial de${\displaystyle (s\downarrow T)}$es la inyección canónica${\displaystyle s\rightarrow T(G)}$, dónde${\displaystyle G}$es el grupo libre generado por${\displaystyle s}$.

Un objeto de${\displaystyle (s\downarrow T)}$se llama un morfismo de${\displaystyle s}$a${\displaystyle T}$o un${\displaystyle T}$-flecha estructurada con dominio${\displaystyle s}$. ^{[ 1 ]} Un objeto de${\displaystyle (S\downarrow t)}$se llama un morfismo de${\displaystyle S}$a${\displaystyle t}$o un${\displaystyle S}$-flecha coestructurada con codominio${\displaystyle t}$. ^{[ 1 ]}

Otro caso especial ocurre cuando ambos${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$son functores con dominio${\displaystyle {\textbf {1}}}$. Si${\displaystyle S(*)=A}$y${\displaystyle T(*)=B}$, luego la categoría de coma${\displaystyle (S\downarrow T)}$, escrito${\displaystyle (A\downarrow B)}$, es la categoría discreta cuyos objetos son morfismos de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$.

Una categoría de insertador es una subcategoría (no completa) de la categoría de coma donde${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$y${\displaystyle f=g}$son necesarios. La categoría coma también puede verse como el insertador de${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$y${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$, dónde${\displaystyle \pi _{1}}$y${\displaystyle \pi _{2}}$son los dos functores de proyección fuera de la categoría de producto${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$.

Varias categorías interesantes tienen una definición natural en términos de categorías de comas.

• La categoría de conjuntos apuntados es una categoría coma,${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}}$con${\displaystyle \scriptstyle {\bullet }}$siendo (un functor que selecciona) cualquier conjunto unitario , y${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$(el functor identidad de) la categoría de conjuntos . Cada objeto de esta categoría es un conjunto, junto con una función que selecciona algún elemento del conjunto: el "punto base". Los morfismos son funciones sobre conjuntos que mapean puntos base a puntos base. De manera similar se puede formar la categoría de espacios con punto.${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}}$.
• La categoría de álgebras asociativas sobre un anillo${\displaystyle R}$es la categoría coslice${\displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}}$, ya que cualquier homomorfismo de anillo${\displaystyle f:R\to S}$induce una asociación${\displaystyle R}$-estructura de álgebra en${\displaystyle S}$y viceversa. Los morfismos son entonces mapas.${\displaystyle h:S\to T}$que hacen que el diagrama sea conmutativo.
• La categoría de gráficos es${\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}}$, con${\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }}$el functor que toma un conjunto${\displaystyle s}$a${\displaystyle s\times s}$Los objetos${\displaystyle (a,b,f)}$entonces constan de dos conjuntos y una función;${\displaystyle a}$es un conjunto de índices,${\displaystyle b}$es un conjunto de nodos, y${\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)}$elige pares de elementos de${\displaystyle b}$para cada entrada de${\displaystyle a}$. Eso es,${\displaystyle f}$selecciona ciertos bordes del conjunto${\displaystyle b\times b}$de posibles aristas. Un morfismo en esta categoría se compone de dos funciones, una sobre el conjunto de índices y otra sobre el conjunto de nodos. Deben "coincidir" según la definición general anterior, lo que significa que${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$debe satisfacer${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$En otras palabras, la arista correspondiente a un determinado elemento del conjunto de índices, al ser trasladada, debe ser la misma que la arista del índice trasladado.
• Muchas operaciones de "aumento" o "etiquetado" pueden expresarse en términos de categorías de comas.${\displaystyle S}$Sea el functor que transforma cada grafo en el conjunto de sus aristas, y sea${\displaystyle A}$Sea (un functor que selecciona) algún conjunto particular: entonces${\displaystyle (S\downarrow A)}$es la categoría de grafos cuyos bordes están etiquetados por elementos de${\displaystyle A}$Esta forma de categoría de coma a menudo se denomina objetos${\displaystyle S}$-encima${\displaystyle A}$- estrechamente relacionado con los "objetos más allá"${\displaystyle A}$"discutido anteriormente. Aquí, cada objeto toma la forma${\displaystyle (B,\pi _{B})}$, dónde${\displaystyle B}$es un gráfico y${\displaystyle \pi _{B}}$una función desde los bordes de${\displaystyle B}$a${\displaystyle A}$Los nodos del grafo podrían etiquetarse esencialmente de la misma manera.
• Se dice que una categoría es localmente cartesiana cerrada si cada una de sus secciones es cartesiana cerrada (véase más arriba la noción de sección ). Las categorías localmente cartesianas cerradas son las categorías clasificadoras de las teorías de tipos dependientes .

Los límites y colímites en las categorías de comas pueden ser "heredados". Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$están completos ,${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$es un functor continuo y${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$es otro functor (no necesariamente continuo), entonces la categoría coma${\displaystyle (S\downarrow T)}$producido es completo, ^{[ 2 ]} y los functores de proyección${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$son continuas. De manera similar, si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$son completos y${\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$es cocontinuo , entonces${\displaystyle (S\downarrow T)}$es cocompleto y los functores de proyección son cocontinuos.

Por ejemplo, observe que en la construcción anterior de la categoría de grafos como categoría coma, la categoría de conjuntos es completa y cocompleta, y el functor identidad es continuo y cocontinuo. Por lo tanto, la categoría de grafos es completa y cocompleta.

La noción de un morfismo universal a un colímite particular, o desde un límite, puede expresarse en términos de una categoría coma. Esencialmente, creamos una categoría cuyos objetos son conos, y donde el cono límite es un objeto terminal ; entonces, cada morfismo universal para el límite es simplemente el morfismo al objeto terminal. Esto funciona en el caso dual, con una categoría de cocones que tiene un objeto inicial. Por ejemplo, sea${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría con${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$el functor que toma cada objeto${\displaystyle c}$a${\displaystyle (c,c)}$y cada flecha${\displaystyle f}$a${\displaystyle (f,f)}$. Un morfismo universal de${\displaystyle (a,b)}$a${\displaystyle F}$consiste, por definición, en un objeto${\displaystyle (c,c)}$y morfismo${\displaystyle \rho$ :(a,b)\rightarrow (c,c)} con la propiedad universal de que para cualquier morfismo${\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)}$Hay un morfismo único${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$con${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$En otras palabras, es un objeto de la categoría coma.${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$que tiene un morfismo a cualquier otro objeto de esa categoría; es inicial. Esto sirve para definir el coproducto en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, cuando existe.

William Lawvere demostró que los functores${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$y${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$son adjuntos si y solo si las categorías de coma${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$y${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$, con${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$y${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$los functores identidad en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$respectivamente, son isomorfos y los elementos equivalentes en la categoría coma pueden proyectarse sobre el mismo elemento de${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$Esto permite describir las adjunciones sin involucrar conjuntos, y de hecho fue la motivación original para introducir las categorías de coma.

Si los dominios de${\displaystyle S,T}$son iguales, entonces el diagrama que define los morfismos en${\displaystyle S\downarrow T}$con${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$es idéntico al diagrama que define una transformación natural${\displaystyle S\to T}$La diferencia entre las dos nociones es que una transformación natural es una colección particular de morfismos de tipo de la forma${\displaystyle S(A)\to T(A)}$, mientras que los objetos de la categoría coma contienen todos los morfismos de tipo de tal forma. Un functor a la categoría coma selecciona esa colección particular de morfismos. Esto se describe sucintamente mediante una observación de SA Huq ^{[ 3 ]} de que una transformación natural${\displaystyle \eta :S\to T}$, con${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$, corresponde a un functor${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$que mapea cada objeto${\displaystyle A}$a${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$y mapea cada morfismo${\displaystyle f=g}$a${\displaystyle (f,g)}$Esta es una correspondencia biyectiva entre transformaciones naturales .${\displaystyle S\to T}$y functores${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$que son secciones de ambos functores olvidadizos de${\displaystyle S\downarrow T}$.