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Articulo de referencia

Cilindro de mapeo

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el cilindro de mapeo [ 1 ] de una función continua F {\displaystyle f} entre espacios topológicos incógnita {\displays...

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En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el cilindro de mapeo [ 1 ] de una función continuaF{\displaystyle f}entre espacios topológicosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}es el cociente

METROF=(([0,1]×incógnita)⨿Y)/∼{\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim }

donde el⨿{\displaystyle \amalg }denota la unión disjunta , y ~ es la relación de equivalencia generada por

(0,incógnita)∼F(incógnita)para cada incógnita∈incógnita.{\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad {\text{para cada }}x\in X.}

Es decir, el cilindro de mapeoMETROF{\displaystyle M_{f}}se obtiene pegando un extremo deincógnita×[0,1]{\displaystyle X\times [0,1]}aY{\displaystyle Y}a través del mapaF{\displaystyle f}Observe que la "parte superior" del cilindro{1}×incógnita{\displaystyle \{1\}\times X}es homeomorfo aincógnita{\displaystyle X}, mientras que el "fondo" es el espacioF(incógnita)⊂Y{\displaystyle f(X)\subset Y}Es común escribirMETROF{\displaystyle Mf}paraMETROF{\displaystyle M_{f}}y utilizar la notación⊔F{\displaystyle \sqcup _{f}}o∪F{\displaystyle \cup _{f}}para la construcción del cilindro de mapeo. Es decir, se escribe

METROF=([0,1]×incógnita)∪FY{\displaystyle Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y}

con el símbolo de copa subíndice que denota la equivalencia. El cilindro de mapeo se usa comúnmente para construir el cono de mapeo.doF{\displaystyle Cf}, obtenido al colapsar un extremo del cilindro hasta un punto. Los cilindros de mapeo son fundamentales para la definición de cofibraciones .

Propiedades básicas

La Y inferior es una retracción de deformación deMETROF{\displaystyle M_{f}}La proyecciónMETROF→Y{\displaystyle M_{f}\to Y}divisiones (a través deY∋y↦y∈Y⊂METROF{\displaystyle Y\ni y\mapsto y\in Y\subset M_ {f}}), y la retracción de la deformaciónR{\displaystyle R}está dado por:

R:METROF×I→METROF{\displaystyle R:M_{f}\times I\rightarrow M_{f}}
([t,incógnita],s)↦[s⋅t,incógnita],(y,s)↦y{\displaystyle ([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y}

(donde los puntos enY{\displaystyle Y}permanece fijo porque[0,incógnita]=[s⋅0,incógnita]{\displaystyle [0,x]=[s\cdot 0,x]}a pesar des{\displaystyle s}).

El mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es una equivalencia homotópica si y solo si el "superior"{1}×incógnita{\displaystyle \{1\}\times X}es una fuerte retracción de deformación deMETROF{\displaystyle M_{f}}. [ 2 ] Se puede elaborar una fórmula explícita para la retracción de deformación fuerte. [ 3 ]

Ejemplos

Cilindro de mapeo de un haz de fibras

Para un haz de fibrasπ:PAG→incógnita{\displaystyle \pi :P\to X}con fibraF{\displaystyle F}, el cilindro de mapeo

METROπ=(([0,1]×PAG)∐incógnita)/∼{\displaystyle M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim }

tiene la relación de equivalencia

(0,pagincógnita)∼(0,qincógnita){\displaystyle (0,p_{x})\sim (0,q_{x})}

parapagincógnita,qincógnita∈Fincógnita{\displaystyle p_{x},q_{x}\in F_{x}}. Luego, hay un mapa canónico que envía un punto [i,pagincógnita,incógnita]∈METROπ{\displaystyle [i,p_{x},x]\in M_{\pi }}hasta el puntoincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}, dando como resultado un haz de fibras

pag:METROπ→incógnita{\displaystyle p:M_{\pi }\to X}

cuya fibra es el conodoFincógnita{\displaystyle CF_{x}}Para ver esto, observe la fibra sobre un punto.incógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}es el espacio cociente

[0,1]×Fincógnita∐{incógnita}/∼{\displaystyle [0,1]\times F_{x}\coprod \{x\}/\sim }

donde cada punto en{0}×Fincógnita{\displaystyle \{0\}\times F_{x}}es equivalente.

Interpretación

El cilindro de mapeo puede considerarse como una forma de reemplazar un mapeo arbitrario por una cofibración equivalente , en el siguiente sentido:

Dado un mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}, el cilindro de mapeo es un espacioMETROF{\displaystyle M_{f}}, junto con una cofibraciónF~:incógnita→METROF{\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}y una equivalencia de homotopía sobreyectivaMETROF→Y{\displaystyle M_{f}\to Y}(de hecho, Y es una retracción de deformación deMETROF{\displaystyle M_{f}}), de tal manera que la composiciónincógnita→METROF→Y{\displaystyle X\to M_{f}\to Y}es igual a f .

De esta forma, el espacio Y se reemplaza por un espacio homotópicamente equivalente.METROF{\displaystyle M_{f}}y el mapa f con un mapa elevadoF~{\displaystyle {\tilde {f}}}. De forma equivalente, el diagrama

F:incógnita→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}

se reemplaza con un diagrama

F~:incógnita→METROF{\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}

junto con una equivalencia homotópica entre ellos.

Esta construcción sirve para reemplazar cualquier mapa de espacios topológicos por una cofibración homotópica equivalente.

Nótese que, puntualmente, una cofibración es una inclusión cerrada .

Aplicaciones

Los cilindros de mapeo son herramientas homotópicas bastante comunes. Un uso de los cilindros de mapeo es aplicar teoremas sobre inclusiones de espacios a mapas generales, que pueden no ser inyectivos .

En consecuencia, se pueden aplicar teoremas o técnicas (como la homología , la cohomología o la teoría de la homotopía ) que solo dependen de la clase de homotopía de los espacios y mapas involucrados.F:incógnita→Y{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}con el supuesto de queincógnita⊂Y{\displaystyle X\subset Y}y esoF{\displaystyle f}en realidad se trata de la inclusión de un subespacio .

Otro atractivo, más intuitivo, de la construcción es que concuerda con la imagen mental habitual de una función como puntos de "envío" deincógnita{\displaystyle X}a puntos deY,{\displaystyle Y,}y por lo tanto de incrustaciónincógnita{\displaystyle X}dentroY,{\displaystyle Y,}a pesar de que la función no tiene por qué ser uno a uno.

Aplicación e interpretación categóricas

Se puede usar el cilindro de mapeo para construir colímites de homotopía : esto se deduce de la afirmación general de que cualquier categoría con todos los pushouts y coecualizadores tiene todos los colímites . Es decir, dado un diagrama, se reemplazan los mapeos por cofibraciones (usando el cilindro de mapeo) y luego se toma el límite puntual ordinario (hay que tener un poco más de cuidado, pero los cilindros de mapeo son un componente).

Por el contrario, el cilindro de mapeo es el empuje homotópico del diagrama dondeF:incógnita→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}yidentificaciónincógnita:incógnita→incógnita{\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\to X}.

Telescopio cartográfico

Dada una secuencia de mapas

incógnita1→F1incógnita2→F2incógnita3→⋯{\displaystyle X_{1}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{2}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{3}\to \cdots }

El telescopio de mapeo es el límite directo homotópico . Si todos los mapas son ya cofibraciones (como para los grupos ortogonales)O(norte)⊂O(norte+1){\displaystyle O(n)\subset O(n+1)}), entonces el límite directo es la unión, pero en general se debe usar el telescopio de mapeo. El telescopio de mapeo es una secuencia de cilindros de mapeo, unidos extremo con extremo. La imagen de la construcción se asemeja a una pila de cilindros cada vez más grandes, como un telescopio.

Formalmente, se define como

(∐i[0,1]×incógnitai)/((0,incógnitai)∼(1,Fi(incógnitai))).{\displaystyle {\Bigl (}\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr )}/((0,x_{i})\sim (1,f_{i}(x_{i}))).}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge Univ. Pr. p . 2. ISBN  0-521-79540-0.
  2. ↑ Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica . Cambridge : Cambridge Univ. Pr. p. 15. ISBN  0-521-79540-0.
  3. ↑ Aguado, Alex (2012). "Una breve nota sobre el mapeo de cilindros". arXiv : 1206.1277 [ math.AT ].
  • May, JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica . The University of Chicago Press. ISBN 978-0-2265-1183-2.