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Categoría de homotopía

En matemáticas , la categoría de homotopía es una categoría construida a partir de la categoría de espacios topológicos que, en cierto sentido, identifica dos espacios que tiene...

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En matemáticas , la categoría de homotopía es una categoría construida a partir de la categoría de espacios topológicos que, en cierto sentido, identifica dos espacios que tienen la misma forma. De hecho, la expresión se utiliza para dos categorías diferentes (pero relacionadas), como se explica más adelante.

En términos más generales, en lugar de partir de la categoría de espacios topológicos, se puede partir de cualquier categoría modelo y definir su categoría de homotopía asociada, mediante una construcción introducida por Quillen en 1967. De esta forma, la teoría de la homotopía puede aplicarse a muchas otras categorías en geometría y álgebra .

La categoría de homotopía ingenua

La categoría de espacios topológicos Top tiene como objetos los espacios topológicos y como morfismos las aplicaciones continuas entre ellos. La definición anterior de la categoría de homotopía hTop , denominada categoría de homotopía ingenua [ 1 ] para mayor claridad en este artículo, tiene los mismos objetos, y un morfismo es una clase de homotopía de aplicaciones continuas. Es decir, dos aplicaciones continuas f  : X → Y se consideran iguales en la categoría de homotopía ingenua si una puede deformarse continuamente en la otra. Existe un functor de Top a hTop que envía espacios a sí mismos y morfismos a sus clases de homotopía. Una aplicación f  : X → Y se denomina equivalencia homotópica si se convierte en un isomorfismo en la categoría de homotopía ingenua. [ 2 ]

Ejemplo: El círculo S 1 , el plano R 2 menos el origen y la cinta de Möbius son todos homotópicamente equivalentes, aunque estos espacios topológicos no son homeomorfos .

La notación [ X , Y ] se usa a menudo para el conjunto de homs de un espacio X a un espacio Y en la categoría de homotopía ingenua (pero también se usa para las categorías relacionadas que se discuten más adelante).

La categoría de homotopía, siguiendo a Quillen

Quillen (1967) enfatizó otra categoría que simplifica aún más la categoría de espacios topológicos. Los teóricos de la homotopía deben trabajar con ambas categorías de vez en cuando, pero el consenso es que la versión de Quillen es más importante, por lo que a menudo se la denomina simplemente "categoría de homotopía". [ 3 ]

Primero se define una equivalencia de homotopía débil : una aplicación continua se denomina equivalencia de homotopía débil si induce una biyección en conjuntos de componentes de caminos y una biyección en grupos de homotopía con puntos base arbitrarios. Luego, la categoría de homotopía (verdadera) se define localizando la categoría de espacios topológicos con respecto a las equivalencias de homotopía débiles. Es decir, los objetos siguen siendo los espacios topológicos, pero se añade un morfismo inverso para cada equivalencia de homotopía débil. Esto tiene como efecto que una aplicación continua se convierte en un isomorfismo en la categoría de homotopía si y solo si es una equivalencia de homotopía débil. Existen funtores obvios de la categoría de espacios topológicos a la categoría de homotopía ingenua (como se definió anteriormente), y de ahí a la categoría de homotopía.

Los resultados de JHC Whitehead , en particular el teorema de Whitehead y la existencia de aproximaciones CW , [ 4 ] ofrecen una descripción más explícita de la categoría de homotopía. Es decir, la categoría de homotopía es equivalente a la subcategoría completa de la categoría de homotopía ingenua que consta de complejos CW . En este sentido, la categoría de homotopía elimina gran parte de la complejidad de la categoría de espacios topológicos.

Ejemplo: Sea X el conjunto de los números naturales {0, 1, 2, ...} y sea Y el conjunto {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, ambos con la topología de subespacio de la recta real . Definimos f  : X → Y mapeando 0 a 0 y n a 1/ n para n positivo. Entonces f es continua y, de hecho, una equivalencia homotópica débil, pero no es una equivalencia homotópica. Por lo tanto, la categoría de homotopía ingenua distingue espacios como X e Y , mientras que se vuelven isomorfos en la categoría de homotopía.   

Para espacios topológicos X e Y , la notación [ X , Y ] puede usarse para el conjunto de morfismos de X a Y en la categoría de homotopía ingenua o en la categoría de homotopía verdadera, dependiendo del contexto.

espacios de Eilenberg–MacLane

Una motivación para estas categorías es que muchos invariantes de espacios topológicos se definen en la categoría de homotopía ingenua o incluso en la categoría de homotopía verdadera. Por ejemplo, para una equivalencia de homotopía débil de espacios topológicos f  : X → Y , el homomorfismo asociado f *  : H i ( X , Z ) → H i ( Y , Z ) de grupos de homología singular es un isomorfismo para todos los números naturales i . [ 5 ] De ello se deduce que, para cada número natural i , la homología singular H i puede verse como un functor de la categoría de homotopía a la categoría de grupos abelianos . En particular, dos aplicaciones homotópicas de X a Y inducen el mismo homomorfismo en grupos de homología singular.

La cohomología singular tiene una propiedad aún mejor: es un functor representable en la categoría de homotopía. Es decir, para cada grupo abeliano A y número natural i , existe un complejo CW K ( A , i ) llamado espacio de Eilenberg-MacLane y una clase de cohomología u en H i ( K ( A , i ), A ) tal que la función resultante

[incógnita,K(A,i)]→Hi(incógnita,A){\displaystyle [X,K(A,i)]\to H^{i}(X,A)}

( dando al tirar de u de vuelta a X ) es biyectivo para todos los espacios topológicos X. [ 6 ] Aquí [ X , Y ] debe entenderse como el conjunto de aplicaciones en la categoría de homotopía verdadera, si se quiere que esta afirmación sea válida para todos los espacios topológicos X. Es válida en la categoría de homotopía ingenua si X es un complejo CW.

Versión puntiaguda

Una variante útil es la categoría de homotopía de espacios con punto fijo . Un espacio con punto fijo es un par ( X , x ) donde X es un espacio topológico y x es un punto en X , llamado punto base. La categoría Top * de espacios con punto fijo tiene como objetos los espacios con punto fijo, y un morfismo f  : X → Y es una aplicación continua que transforma el punto base de X en el punto base de Y. La categoría de homotopía ingenua de espacios con punto fijo tiene los mismos objetos, y los morfismos son clases de homotopía de aplicaciones con punto fijo (lo que significa que el punto base permanece fijo a lo largo de la homotopía). Finalmente, la categoría de homotopía "verdadera" de espacios con punto fijo se obtiene a partir de la categoría Top * invirtiendo las aplicaciones con punto fijo que son equivalencias de homotopía débiles.

Para espacios con punto X e Y , [ X , Y ] puede denotar el conjunto de morfismos de X a Y en cualquiera de las versiones de la categoría de homotopía de espacios con punto, dependiendo del contexto.

Varias construcciones básicas en la teoría de la homotopía se definen naturalmente en la categoría de espacios con punto (o en la categoría de homotopía asociada), no en la categoría de espacios. Por ejemplo, la suspensión Σ X y el espacio de lazos Ω X se definen para un espacio con punto X y producen otro espacio con punto. Además, el producto smash X ∧ Y es un functor importante de los espacios con punto X e Y. Por ejemplo, la suspensión se puede definir como

Σincógnita=S1∧incógnita.{\displaystyle \Sigma X=S^{1}\wedge X.}

Los functores del espacio de suspensión y del espacio de bucle forman un par adjunto de functores , en el sentido de que existe un isomorfismo natural.

[Σincógnita,Y]≅[incógnita,ΩY]{\displaystyle [\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]}

para todos los espacios X e Y.

Categorías concretas

Si bien los objetos de una categoría de homotopía son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino clases de funciones (en la categoría de homotopía ingenua) o «zigzags» de funciones (en la categoría de homotopía). De hecho, Freyd demostró que ni la categoría de homotopía ingenua de espacios con punto ni la categoría de homotopía de espacios con punto son categorías concretas . Es decir, no existe un functor fiel de estas categorías a la categoría de conjuntos . [ 7 ]

Categorías de modelos

Existe un concepto más general: la categoría de homotopía de una categoría modelo . Una categoría modelo es una categoría C con tres tipos distintos de morfismos llamados fibraciones , cofibraciones y equivalencias débiles , que satisfacen varios axiomas. La categoría de homotopía asociada se define localizando C con respecto a las equivalencias débiles.

Esta construcción, aplicada a la categoría modelo de espacios topológicos con su estructura modelo estándar (a veces llamada estructura modelo de Quillen), da como resultado la categoría de homotopía definida anteriormente. Se han considerado muchas otras estructuras modelo en la categoría de espacios topológicos, dependiendo del grado de simplificación que se desee. Por ejemplo, en la estructura modelo de Hurewicz sobre espacios topológicos, la categoría de homotopía asociada es la categoría de homotopía ingenua definida anteriormente. [ 8 ]

La misma categoría de homotopía puede surgir de muchas categorías de modelos diferentes. Un ejemplo importante es la estructura de modelo estándar en conjuntos simpliciales : la categoría de homotopía asociada es equivalente a la categoría de homotopía de espacios topológicos, aunque los conjuntos simpliciales son objetos definidos combinatoriamente que carecen de topología . Algunos topólogos prefieren trabajar con espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta ; de nuevo, con la estructura de modelo estándar, la categoría de homotopía asociada es equivalente a la categoría de homotopía de todos los espacios topológicos. [ 9 ]

Para un ejemplo más algebraico de una categoría modelo, sea A una categoría abeliana de Grothendieck , por ejemplo, la categoría de módulos sobre un anillo o la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Entonces hay una estructura modelo en la categoría de complejos de cadenas de objetos en A , donde las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos . [ 10 ] La categoría de homotopía resultante se llama categoría derivada D A .

Finalmente, la categoría de homotopía estable se define como la categoría de homotopía asociada a una estructura de modelo en la categoría de espectros . Se han considerado diversas categorías de espectros, pero todas las definiciones aceptadas dan como resultado la misma categoría de homotopía.

Notas

  1. ↑ May y Ponto 2012 , pág. 395 
  2. ↑ Hatcher 2001 , pág. 3 
  3. ^ Mayo y Ponto 2012 , págs. xxi-xxii 
  4. ↑ Hatcher 2001 , Teorema 4.5 y Proposición 4.13
  5. ↑ Hatcher 2001 , Proposición 4.21
  6. ↑ Hatcher 2001 , Teorema 4.57
  7. ↑ Freyd 1970
  8. ↑ Mayo & Ponto 2012 , apartado 17.1
  9. ↑ Hovey 1999 , Teoremas 2.4.23 y 2.4.25
  10. ↑ Beke 2000 , Proposición 3.13

Referencias

  • Beke, Tibor (2000), "Categorías de modelos de homotopía agrupables en haces", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 129 (3): 447– 473, arXiv : math/0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129..447B , doi : 10.1017/S0305004100004722 , MR 1780498 , S2CID 16563879  
  • Dwyer, William G.; Spaliński, J. (1995), "Teorías de homotopía y categorías de modelos" (PDF) , Manual de topología algebraica , Ámsterdam: North-Holland, pp. 73–126 , MR 1361887 , archivado del original (PDF) el 17 de enero de 2021 , consultado el 17 de octubre de 2016.  
  • Freyd, Peter (1970), "La homotopía no es concreta" , El álgebra de Steenrod y sus aplicaciones , Lecture Notes in Mathematics, vol.  168, Springer-Verlag , MR 0276961 
  • Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354 
  • Hovey, Mark (1999), Categorías de modelos (PDF) , Sociedad Matemática Americana , ISBN 0-8218-1359-5, MR 1650134 
  • May, JP ; Ponto, K. (2012), Topología algebraica más concisa. Localización, completitud y categorías de modelos (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8MR 2884233 , archivado del original (PDF) el 6 de julio de 2017 , consultado el 17 de octubre de 2016.