Homotopía

Se dice que las funciones continuas f y g son homotópicas si y solo si existe una homotopía H que transforma f en g como se describió anteriormente. Ser homotópico es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las funciones continuas de X a Y. Esta relación de homotopía es compatible con la composición de funciones en el siguiente sentido: si f ₁ , g ₁  : X → Y son homotópicas, y f ₂ , g ₂  : Y → Z son homotópicas, entonces sus composiciones f ₂ ∘ f ₁ y g ₂ ∘ g ₁ : X → Z  también son homotópicas.

Un homeomorfismo es un caso especial de equivalencia homotópica, en el que g ∘ f es igual a la aplicación identidad id _X (no solo homotópica a ella), y f ∘ g es igual a id _Y. ^{[ 7 ] : 0:53:00} Por lo tanto, si X e Y son homeomorfos, entonces son homotópicamente equivalentes, pero lo contrario no es cierto. Algunos ejemplos:

• Un disco sólido es homotópicamente equivalente a un solo punto, ya que se puede deformar el disco a lo largo de líneas radiales de forma continua hasta obtener un solo punto; sin embargo, no son homeomorfos, puesto que no existe una biyección entre ellos (ya que uno es un conjunto infinito, mientras que el otro es finito).
• La cinta de Möbius y una cinta sin torsión (cerrada) son homotópicamente equivalentes, ya que ambas se pueden deformar continuamente hasta formar un círculo. Sin embargo, no son homeomorfas.

• El primer ejemplo de una equivalencia homotópica es${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con un punto, denotado${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$. La parte que debe comprobarse es la existencia de una homotopía${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$entre${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$y${\displaystyle p_{0}}$, la proyección de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$sobre el origen. Esto se puede describir como${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$.
• Existe una equivalencia homotópica entre${\displaystyle S^{1}}$(la 1-esfera ) y${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$.
  • En términos más generales,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$.
• Cualquier haz de fibra${\displaystyle \pi :E\to B}$con fibras${\displaystyle F_{b}}$La homotopía equivalente a un punto tiene espacios totales y base homotópicamente equivalentes. Esto generaliza los dos ejemplos anteriores ya que${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}} es un fibrado con fibra${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$.
• Todo fibrado vectorial es un fibrado fibrado con una homotopía de fibra equivalente a un punto.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$para cualquier${\displaystyle 0\leq k<n}$, escribiendo${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$como el espacio total del haz de fibras${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$, luego aplicando las equivalencias de homotopía anteriores.
• Si un subcomplejo${\displaystyle A}$de un complejo CW${\displaystyle X}$es contraíble, entonces el espacio cociente${\displaystyle X/A}$¿Es la homotopía equivalente a?${\displaystyle X}$. ^{[ 8 ]}
• Una retracción por deformación es una equivalencia homotópica.

Una función${\displaystyle f}$Se dice que es homotópico nulo.si es homotópica a una función constante. (La homotopía de${\displaystyle f}$a una función constante se denomina entonces a veces homotopía nula . Por ejemplo, un mapa${\displaystyle f}$del círculo unitario${\displaystyle S^{1}}$a cualquier espacio${\displaystyle X}$es homotópico nulo precisamente cuando puede extenderse continuamente a un mapa desde el disco de la unidad.${\displaystyle D^{2}}$a${\displaystyle X}$que está de acuerdo con${\displaystyle f}$en el límite.

De estas definiciones se deduce que un espacio${\displaystyle X}$es contraíble si y solo si el mapa identidad de${\displaystyle X}$a sí misma —que siempre es una equivalencia homotópica— es homotópica nula .

Para definir el grupo fundamental , se necesita la noción de homotopía relativa a un subespacio . Estas homotopías mantienen fijos los elementos del subespacio. Formalmente: si f y g son aplicaciones continuas de X a Y y K es un subconjunto de X , decimos que f y g son homotópicas relativas a K si existe una homotopía H  : X × [0, 1] → Y entre f y g tal que H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) para todo k ∈ K y t ∈ [0, 1]. Además, si g es una retracción de X a K y f es la aplicación identidad, esto se conoce como una retracción de deformación fuerte de X a K. Cuando K es un punto, se utiliza el término homotopía puntual .

El nudo no es equivalente al nudo de trébol, ya que uno no puede transformarse en el otro mediante una secuencia continua de homeomorfismos del espacio ambiente. Por lo tanto, no son isotópicos ambientales.

Cuando dos funciones continuas dadas f y g del espacio topológico X al espacio topológico Y son incrustaciones , cabe preguntarse si pueden conectarse "a través de incrustaciones". Esto da lugar al concepto de isotopía , que es una homotopía, H , en la notación utilizada anteriormente, tal que para cada t fijo , H ( x , t ) proporciona una incrustación. ^{[ 9 ]}

Un concepto relacionado, pero distinto, es el de isotopía ambiental .

Exigir que dos incrustaciones sean isotópicas es un requisito más fuerte que exigir que sean homotópicas. Por ejemplo, la aplicación del intervalo [−1, 1] a los números reales definida por f ( x ) = − x no es isotópica a la identidad g ( x ) = x . Cualquier homotopía de f a la identidad tendría que intercambiar los puntos extremos, lo que significaría que tendrían que "pasarse" entre sí. Además, f ha cambiado la orientación del intervalo y g no, lo cual es imposible bajo una isotopía. Sin embargo, las aplicaciones son homotópicas; una homotopía de f a la identidad es H :  [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] dada por H ( x , y ) = 2 yx − x .        

Se puede demostrar que dos homeomorfismos (que son casos especiales de incrustaciones) de la bola unitaria que coinciden en el límite son isotópicos utilizando el truco de Alexander . Por esta razón, el mapa del disco unitario en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$definida por f ( x , y ) = ( − x , − y ) es isotópica a una rotación de 180 grados alrededor del origen, y por lo tanto el mapa identidad y f son isotópicos porque pueden conectarse mediante rotaciones. 

En topología geométrica —por ejemplo, en teoría de nudos— la idea de isotopía se utiliza para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, ¿cuándo se deben considerar dos nudos iguales? Consideremos dos nudos, _{K₁ y} K₂ , en un espacio tridimensional . Un nudo es una incrustación de un espacio unidimensional, el "bucle de cuerda" (o el círculo), en este espacio, y esta incrustación proporciona un homeomorfismo entre el círculo y su imagen en el espacio de incrustación. Se podría intentar definir la equivalencia de nudos basándose en la isotopía en lugar de la propiedad más restringida de la isotopía ambiental . Es decir, dos nudos son isotópicos cuando existe una función continua que comienza en t = 0 dando la incrustación _de K₁ , termina en t = 1 dando la incrustación de K₂ _, con todos los valores intermedios correspondientes a incrustaciones. Sin embargo, esta definición haría que cada nudo fuera equivalente al nudo simple, ya que las partes anudadas se pueden "contraer" hasta formar una línea recta. El problema radica en que, si bien es continua, no se trata de una función inyectiva del espacio euclidiano en el que se encuentra incrustado el nudo. Una isotopía ambiental , estudiada en este contexto, es una isotopía del espacio mayor, considerada a la luz de su acción sobre la subvariedad incrustada. Los nudos K _​​1 y K ₂ se consideran equivalentes cuando existe una familia continua de aplicaciones indexadas en [0, 1] que transforma K ₁ en K ₂ mediante homeomorfismos del espacio euclidiano.   

Se utiliza un lenguaje similar para el concepto equivalente en contextos donde se tiene una noción de equivalencia más fuerte. Por ejemplo, un camino entre dos incrustaciones suaves es una isotopía suave .

En una variedad lorentziana , ciertas curvas se distinguen como temporales (representando algo que solo avanza, no retrocede, en el tiempo, en cada marco local). Una homotopía temporal entre dos curvas temporales es una homotopía tal que la curva permanece temporal durante la transformación continua de una curva a otra. Ninguna curva temporal cerrada (CTC) en una variedad lorentziana es homotópica temporal a un punto (es decir, homotópica temporal nula); por lo tanto, se dice que dicha variedad está múltiplemente conexa por curvas temporales. Una variedad como la 3-esfera puede estar simplemente conexa (por cualquier tipo de curva) y, sin embargo, ser múltiplemente conexa temporal . ^{[ 10 ]}

Si tenemos una homotopía${\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y}$y una portada${\displaystyle p:{\overline {Y}}\rightarrow Y}$y nos dan un mapa${\displaystyle {\overline {h}}_{0}:X\rightarrow {\overline {Y}}}$de tal manera que${\displaystyle H_{0}=P\circ {\overline {h}}_{0}}$ (${\displaystyle {\overline {h}}_{0}}$se llama ascensor de${\displaystyle h_{0}}$), entonces podemos levantar todo${\displaystyle H}$a un mapa${\displaystyle {\overline {H}}:X\times [0,1]\rightarrow {\overline {Y}}}$de tal manera que${\displaystyle p\circ {\overline {H}}=H}$La propiedad de levantamiento de homotopía se utiliza para caracterizar las fibraciones .

Otra propiedad útil relacionada con la homotopía es la propiedad de extensión homotópica , que caracteriza la extensión de una homotopía entre dos funciones desde un subconjunto de algún conjunto al conjunto mismo. Es útil al tratar con cofibraciones .

Dado que la relación de dos funciones${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$Ser homotópico con respecto a un subespacio es una relación de equivalencia, podemos observar las clases de equivalencia de mapas entre un X e Y fijos . Si fijamos${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$, el intervalo unitario [0, 1] se cruza consigo mismo n veces, y tomamos su límite.${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$como un subespacio, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, denotado${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$, dónde${\displaystyle y_{0}}$está en la imagen del subespacio${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$.

Podemos definir la acción de una clase de equivalencia sobre otra, y así obtenemos un grupo. Estos grupos se denominan grupos de homotopía . En el caso${\displaystyle n=1}$, también se le llama el grupo fundamental .

La idea de homotopía puede transformarse en una categoría formal de la teoría de categorías . La categoría de homotopía es aquella cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son clases de equivalencia homotópica de aplicaciones continuas. Dos espacios topológicos X e Y son isomorfos en esta categoría si y solo si son homotópicamente equivalentes. Un functor en la categoría de espacios topológicos es homotópicamente invariante si puede expresarse como un functor en la categoría de homotopía.

Por ejemplo, los grupos de homología son un invariante de homotopía funtorial : esto significa que si f y g de X a Y son homotópicos, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de grupos de homología son los mismos: H _n ( f ) = H _n ( g )  : H _n ( X ) → H _n ( Y ) para todo n . De igual modo, si X e Y son además conexos por caminos , y la homotopía entre f y g es apuntada, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de grupos de homotopía también son los mismos: π _n ( f ) = π _n ( g )  : π _n ( X ) → π _n ( Y ).