método de análisis de homotopía

El método de análisis de homotopía ( HAM ) es una técnica semianalítica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales no lineales . Este método emplea el concepto de homotopía de la topología para generar una solución en serie convergente para sistemas no lineales. Esto se logra mediante el uso de una serie de Maclaurin homotópica para abordar las no linealidades del sistema.

El método HAM se aplicó por primera vez en 1988 para calcular el transporte balístico de electrones calientes en estructuras submicrométricas no homogéneas mediante la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales por Claus Hillebrand, de la RWTH Aachen . Este trabajo se publicó en su tesis doctoral en 1989 (véase la referencia).El método HAM fue concebido por primera vez en 1992 por Liao Shijun de la Universidad Jiaotong de Shanghái en su tesis doctoral ^{[ 1 ]} y modificado posteriormente ^{[ 2 ]} en 1997 para introducir un parámetro auxiliar distinto de cero, denominado parámetro de control de convergencia , c₀ , para construir una homotopía en un sistema diferencial en forma general. ^{[ 3 ]} _{El parámetro de control de convergencia es una variable no física que proporciona una forma sencilla de verificar y garantizar la convergencia de una serie de} soluciones. La capacidad del método HAM para demostrar de forma natural la convergencia de la solución en serie es inusual en los enfoques analíticos y semianalíticos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

El método HAM se distingue de otros métodos analíticos en cuatro aspectos importantes. Primero, es un método de expansión en serie que no depende directamente de parámetros físicos pequeños o grandes. Por lo tanto, es aplicable no solo a problemas débilmente no lineales, sino también fuertemente no lineales, superando algunas de las limitaciones inherentes de los métodos de perturbación estándar . Segundo, el método HAM es un método unificado para el método de parámetros pequeños artificiales de Lyapunov , el método de expansión delta , el método de descomposición de Adomian ^{[ 4 ]} y el método de perturbación de homotopía ^{[ 5 ] [ 6 ]} . La mayor generalidad del método permite a menudo una fuerte convergencia de la solución en dominios espaciales y de parámetros más amplios. Tercero, el método HAM ofrece una excelente flexibilidad en la expresión de la solución y en cómo se obtiene explícitamente. Proporciona una gran libertad para elegir las funciones base de la solución deseada y el operador lineal auxiliar correspondiente de la homotopía. Finalmente, a diferencia de otras técnicas de aproximación analítica, el método HAM proporciona una forma sencilla de asegurar la convergencia de la serie de soluciones.

El método de análisis de homotopía también puede combinarse con otras técnicas empleadas en ecuaciones diferenciales no lineales, como los métodos espectrales ^{[ 7 ]} y los aproximantes de Padé . Además, puede combinarse con métodos computacionales, como el método de elementos de contorno, para permitir que el método lineal resuelva sistemas no lineales. A diferencia de la técnica numérica de continuación de homotopía , el método de análisis de homotopía es un método de aproximación analítica, en contraposición a un método computacional discreto. Además, el HAM utiliza el parámetro de homotopía solo a nivel teórico para demostrar que un sistema no lineal puede dividirse en un conjunto infinito de sistemas lineales.Los métodos que se resuelven analíticamente, mientras que los métodos de continuación requieren resolver un sistema lineal discreto a medida que se varía el parámetro de homotopía para resolver el sistema no lineal.

En los últimos veinte años, el HAM se ha aplicado para resolver un número creciente de ecuaciones diferenciales ordinarias / parciales no lineales en ciencia, finanzas e ingeniería. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Por ejemplo, se encontraron múltiples ondas resonantes de estado estacionario en profundidad de agua finita y profunda ^{[ 10 ]} con el criterio de resonancia de onda de un número arbitrario de ondas de gravedad viajeras ; esto coincidió con el criterio de Phillips para cuatro ondas con amplitud pequeña. Además, un modelo de onda unificado aplicado con el HAM, ^{[ 11 ]} admite no solo las ondas periódicas/solitarias progresivas suaves tradicionales, sino también las ondas solitarias progresivas con cresta puntiaguda en profundidad de agua finita. Este modelo muestra que las ondas solitarias puntiagudas son soluciones consistentes junto con las suaves conocidas. Además, el HAM se ha aplicado a muchos otros problemas no lineales, como la transferencia de calor no lineal , ^{[ 12 ]} el ciclo límite de sistemas dinámicos no lineales, ^{[ 13 ]} la opción de venta americana , ^{[ 14 ]} la ecuación exacta de Navier-Stokes , ^{[ 15 ]} la valoración de opciones bajo volatilidad estocástica , ^{[ 16 ]} los flujos electrohidrodinámicos , ^{[ 17 ]} la ecuación de Poisson-Boltzmann para dispositivos semiconductores, ^{[ 18 ]} y otros.

Consideremos una ecuación diferencial no lineal general.

${\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$,

dónde${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es un operador no lineal. Sea${\displaystyle {\mathcal {L}}}$denotamos un operador lineal auxiliar, u ₀ ( x ) una estimación inicial de u ( x ), y c ₀ una constante (llamada parámetro de control de convergencia), respectivamente. Usando el parámetro de incrustación q ∈ [0,1] de la teoría de homotopía, se puede construir una familia de ecuaciones,

${\displaystyle (1-q){\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=c_{0}\,q\,{\mathcal {N}}[U(x;q)],}$

denominada ecuación de deformación de orden cero, cuya solución varía continuamente con respecto al parámetro de incrustación q ∈ [0,1]. Esta es la ecuación lineal.

${\displaystyle {\mathcal {L}}[U(x;q)-u_{0}(x)]=0,}$

con una estimación inicial conocida U ( x ; 0) = u ₀ ( x ) cuando q = 0, pero es equivalente a la ecuación no lineal original.${\displaystyle {\mathcal {N}}[u(x)]=0}$, cuando q = 1, es decir U ( x ; 1) = u ( x )). Por lo tanto, a medida que q aumenta de 0 a 1, la solución U ( x ; q ) de la ecuación de deformación de orden cero varía (o se deforma) desde la estimación inicial elegida u ₀ ( x ) hasta la solución u ( x ) de la ecuación no lineal considerada.

Al expandir U ( x ; q ) en una serie de Taylor alrededor de q = 0, obtenemos la serie de homotopía de Maclaurin.

${\displaystyle U(x;q)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x)\,q^{m}.}$

Suponiendo que el llamado parámetro de control de convergencia c ₀ de la ecuación de deformación de orden cero se elige adecuadamente de manera que la serie anterior sea convergente en q = 1, tenemos la solución de la serie de homotopía.

${\displaystyle u(x)=u_{0}(x)+\sum _{m=1}^{\infty }u_{m}(x).}$

A partir de la ecuación de deformación de orden cero, se puede derivar directamente la ecuación que rige u _m ( x ).

${\displaystyle {\mathcal {L}}[u_{m}(x)-\chi _{m}u_{m-1}(x)]=c_{0}\,R_{m}[u_{0},u_{1},\ldots ,u_{m-1}],}$

llamada ecuación de deformación ^{de orden} m , donde${\displaystyle \chi _{1}=0}$y${\displaystyle \chi _{k}=1}$Para k > 1, el lado derecho R _m depende únicamente de los resultados conocidos u ₀ , u ₁ , ..., u _{m  −  1} y puede obtenerse fácilmente mediante software de álgebra computacional . De esta forma, la ecuación no lineal original se transforma en un número infinito de ecuaciones lineales, pero sin la suposición de parámetros físicos pequeños o grandes.

Dado que el HAM se basa en una homotopía, se tiene una gran libertad para elegir la estimación inicial u ₀ ( x ), el operador lineal auxiliar.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y el parámetro de control de convergencia c ₀ en la ecuación de deformación de orden cero. Por lo tanto, el HAM proporciona al matemático la libertad de elegir el tipo de ecuación de la ecuación de deformación de orden superior y las funciones base de su solución. El valor óptimo del parámetro de control de convergencia c ₀ se determina por el mínimo del error residual cuadrático de las ecuaciones gobernantes y/o las condiciones de contorno después de que se haya resuelto la forma general para la estimación inicial y el operador lineal elegidos. Así, el parámetro de control de convergencia c ₀ es una forma sencilla de garantizar la convergencia de la solución de la serie de homotopía y diferencia el HAM de otros métodos de aproximación analítica. En general, el método proporciona una generalización útil del concepto de homotopía.

El método HAM es un método de aproximación analítica diseñado para la era de la informática con el objetivo de "calcular con funciones en lugar de números". En combinación con un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple , se pueden obtener aproximaciones analíticas de un problema altamente no lineal de orden arbitrariamente alto mediante el método HAM en tan solo unos segundos. Inspirado por las recientes aplicaciones exitosas del método HAM en diferentes campos, se ha puesto a disposición en línea un paquete de Mathematica basado en el método HAM, llamado BVPh, para resolver problemas de contorno no lineales.BVPh es un paquete de resolución para EDO altamente no lineales con singularidades, múltiples soluciones y condiciones de contorno multipunto en un intervalo finito o infinito, e incluye soporte para ciertos tipos de EDP no lineales. ^{[ 8 ]} Otro código de Mathematica basado en HAM, APOh, se ha desarrollado para resolver una aproximación analítica explícita del límite de ejercicio óptimo de una opción de venta americana, que también está disponible en línea..

Recientemente se ha informado que el HAM es útil para obtener soluciones analíticas para ecuaciones de respuesta en frecuencia no lineales . Dichas soluciones pueden capturar diversos comportamientos no lineales, como comportamientos de endurecimiento, ablandamiento o mixtos del oscilador. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Estas ecuaciones analíticas también son útiles para predecir el caos en sistemas no lineales. ^{[ 21 ]}

• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
• http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm