Análisis matemático

El análisis es la rama de las matemáticas que se ocupa de funciones continuas , límites y teorías relacionadas, como la diferenciación , la integración , la medida , las secuencias infinitas , las series y las funciones analíticas . ^{[1] [2]}

Estas teorías se estudian generalmente en el contexto de números y funciones reales y complejos . El análisis evolucionó a partir del cálculo , que involucra los conceptos y técnicas elementales del análisis. El análisis puede distinguirse de la geometría ; sin embargo, se puede aplicar a cualquier espacio de objetos matemáticos que tenga una definición de proximidad (un espacio topológico ) o distancias específicas entre objetos (un espacio métrico ).

El análisis matemático se desarrolló formalmente en el siglo XVII durante la Revolución científica , ^[3] pero muchas de sus ideas se remontan a matemáticos anteriores. Los primeros resultados en análisis estaban presentes implícitamente en los primeros días de las matemáticas griegas antiguas . Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la dicotomía de Zenón . ^[4] (Estrictamente hablando, el punto de la paradoja es negar que exista la suma infinita). Más tarde, matemáticos griegos como Eudoxo y Arquímedes hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando utilizaron el método de agotamiento para calcular el área y el volumen de regiones y sólidos. ^[5] El uso explícito de infinitesimales aparece en El método de teoremas mecánicos de Arquímedes , una obra redescubierta en el siglo XX. ^[6] En Asia, el matemático chino Liu Hui utilizó el método de agotamiento en el siglo III d. C. para encontrar el área de un círculo. ^[7] Según la literatura jainista, parece que los hindúes poseían las fórmulas para la suma de las series aritméticas y geométricas ya en el siglo IV a. C. ^[8] Ācārya Bhadrabāhu utiliza la suma de una serie geométrica en su Kalpasūtra en el 433  a. C. [ ^9]

Zu Chongzhi estableció un método que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera en el siglo V. ^[10] En el siglo XII, el matemático indio Bhāskara II utilizó el infinitesimal y utilizó lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle . ^[11]

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama desarrolló expansiones de series infinitas , ahora llamadas series de Taylor , de funciones como seno , coseno , tangente y arcotangente . ^[12] Junto con su desarrollo de la serie de Taylor de funciones trigonométricas , también estimó la magnitud de los términos de error resultantes de truncar estas series, y dio una aproximación racional de algunas series infinitas. Sus seguidores en la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala ampliaron aún más sus trabajos, hasta el siglo XVI.

Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del siglo XVII. ^[3] Esto comenzó cuando Fermat y Descartes desarrollaron la geometría analítica , que es la precursora del cálculo moderno. El método de adecuación de Fermat le permitió determinar los máximos y mínimos de las funciones y las tangentes de las curvas. ^[13] La publicación de La Géométrie por parte de Descartes en 1637, que introdujo el sistema de coordenadas cartesianas , se considera el establecimiento del análisis matemático. Serían unas décadas más tarde que Newton y Leibniz desarrollaran de forma independiente el cálculo infinitesimal , que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó durante el siglo XVIII, en temas de análisis como el cálculo de variaciones , las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , el análisis de Fourier y las funciones generadoras . Durante este período, las técnicas de cálculo se aplicaron para aproximar problemas discretos mediante problemas continuos.

En el siglo XVIII, Euler introdujo la noción de función matemática . ^[14] El análisis real comenzó a surgir como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, ^[15] pero el trabajo de Bolzano no se hizo ampliamente conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a poner el cálculo sobre una base lógica firme al rechazar el principio de generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, particularmente por Euler. En cambio, Cauchy formuló el cálculo en términos de ideas geométricas e infinitesimales . Por lo tanto, su definición de continuidad requería que un cambio infinitesimal en x correspondiera a un cambio infinitesimal en y . También introdujo el concepto de la sucesión de Cauchy e inició la teoría formal del análisis complejo . Poisson , Liouville , Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico . Las contribuciones de estos matemáticos y de otros, como Weierstrass , desarrollaron la definición de límite (ε, δ) , con lo que se fundó el campo moderno del análisis matemático. Casi al mismo tiempo, Riemann introdujo su teoría de la integración e hizo avances significativos en el análisis complejo.

A finales del siglo XIX, los matemáticos empezaron a preocuparse por el hecho de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin demostración. Dedekind construyó entonces los números reales mediante cortes de Dedekind , en los que se definen formalmente los números irracionales, que sirven para rellenar los «huecos» entre los números racionales, creando así un conjunto completo : el continuo de números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin en términos de desarrollos decimales . Por esa época, los intentos de refinar los teoremas de integración de Riemann condujeron al estudio del «tamaño» del conjunto de discontinuidades de las funciones reales.

Además, varios objetos patológicos (como funciones continuas en ninguna parte , funciones continuas pero no diferenciables en ninguna parte y curvas que llenan el espacio ), comúnmente conocidos como "monstruos", comenzaron a ser investigados. En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida , Cantor desarrolló lo que ahora se llama teoría de conjuntos ingenua y Baire demostró el teorema de categorías de Baire . A principios del siglo XX, el cálculo se formalizó utilizando una teoría de conjuntos axiomática . Lebesgue mejoró enormemente la teoría de la medida e introdujo su propia teoría de la integración, ahora conocida como integración de Lebesgue , que resultó ser una gran mejora sobre la de Riemann. Hilbert introdujo los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales . La idea del espacio vectorial normado estaba en el aire y en la década de 1920 Banach creó el análisis funcional .

En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto donde se define una noción de distancia (llamada métrica ) entre elementos del conjunto.

Gran parte del análisis se lleva a cabo en algún espacio métrico; los más utilizados son la línea real , el plano complejo , el espacio euclidiano , otros espacios vectoriales y los números enteros . Entre los ejemplos de análisis sin métrica se incluyen la teoría de la medida (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el análisis funcional (que estudia los espacios vectoriales topológicos que no necesitan tener ningún sentido de la distancia).

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado donde es un conjunto y es una métrica en , es decir, una función.${\estilo de visualización (M,d)}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

de modo que para cualquier , se cumple lo siguiente: ${\displaystyle x,y,z\en M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$, con igualdad si y sólo si    ( identidad de indiscernibles ),${\displaystyle x=y}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$    ( simetría ), y
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$    ( desigualdad triangular ).

Tomando la tercera propiedad y dejando , se puede demostrar que     ( no negativo ). ${\displaystyle z=x}$${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$

Una secuencia es una lista ordenada. Al igual que un conjunto , contiene miembros (también llamados elementos o términos ). A diferencia de un conjunto, el orden importa y los mismos elementos pueden aparecer varias veces en distintas posiciones de la secuencia. Más precisamente, una secuencia puede definirse como una función cuyo dominio es un conjunto numerable totalmente ordenado , como los números naturales .

Una de las propiedades más importantes de una secuencia es la convergencia . De manera informal, una secuencia converge si tiene un límite . Continuando de manera informal, una secuencia (infinita simple) tiene un límite si se acerca a un punto x , llamado límite, cuando n se vuelve muy grande. Es decir, para una secuencia abstracta ( a _n ) (entendiendo que n va de 1 al infinito) la distancia entre a _n y x se acerca a 0 cuando n → ∞, denotado

${\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_{n}=x.}$

El análisis real (tradicionalmente, la "teoría de funciones de una variable real") es una rama del análisis matemático que trata con los números reales y las funciones de valores reales de una variable real. ^{[16] [17]} En particular, se ocupa de las propiedades analíticas de las funciones y secuencias reales , incluyendo la convergencia y los límites de secuencias de números reales, el cálculo de los números reales y la continuidad , suavidad y propiedades relacionadas de las funciones de valores reales.

El análisis complejo (tradicionalmente conocido como la "teoría de funciones de una variable compleja") es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de números complejos . ^[18] Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluyendo la geometría algebraica , la teoría de números , las matemáticas aplicadas ; así como en la física , incluyendo la hidrodinámica , la termodinámica , la ingeniería mecánica , la ingeniería eléctrica y, particularmente, la teoría cuántica de campos .

El análisis complejo se ocupa en particular de las funciones analíticas de variables complejas (o, de manera más general, de las funciones meromórficas ). Debido a que las partes reales e imaginarias separadas de cualquier función analítica deben satisfacer la ecuación de Laplace , el análisis complejo es ampliamente aplicable a problemas bidimensionales en física .

El análisis funcional es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con el límite (por ejemplo, producto interno , norma , topología , etc.) y los operadores lineales que actúan sobre estos espacios y respetan estas estructuras en un sentido adecuado. ^{[19] [20]} Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen operadores continuos , unitarios , etc. entre espacios de funciones. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

El análisis armónico es una rama del análisis matemático que se ocupa de la representación de funciones y señales como la superposición de ondas básicas . Esto incluye el estudio de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier ( análisis de Fourier ), y de sus generalizaciones. El análisis armónico tiene aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría musical , la teoría de números , la teoría de la representación , el procesamiento de señales , la mecánica cuántica , el análisis de mareas y la neurociencia .

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función misma y sus derivadas de varios órdenes . ^{[21] [22] [23]} Las ecuaciones diferenciales juegan un papel destacado en la ingeniería , la física , la economía , la biología y otras disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología, específicamente cuando se conoce o postula una relación determinista que involucra algunas cantidades que varían continuamente (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la mecánica clásica , donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton permiten que uno (dada la posición, la velocidad, la aceleración y varias fuerzas que actúan sobre el cuerpo) exprese estas variables dinámicamente como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento ) puede resolverse explícitamente.

Una medida en un conjunto es una forma sistemática de asignar un número a cada subconjunto adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño. ^[24] En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano , que asigna la longitud , el área y el volumen convencionales de la geometría euclidiana a subconjuntos adecuados del espacio euclidiano -dimensional . Por ejemplo, la medida de Lebesgue del intervalo en los números reales es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra, específicamente, 1. ${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o +∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto . Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser ( contablemente ) aditiva: la medida de un subconjunto "grande" que se puede descomponer en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos "más pequeños", es la suma de las medidas de los subconjuntos "más pequeños". En general, si uno quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado mientras satisface los otros axiomas de una medida, solo encuentra ejemplos triviales como la medida de conteo . Este problema se resolvió definiendo la medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles , que se requieren para formar un -álgebra . Esto significa que el conjunto vacío, las uniones contables, las intersecciones contables y los complementos de subconjuntos medibles son medibles. Los conjuntos no mensurables en un espacio euclidiano, en los que no se puede definir de manera consistente la medida de Lebesgue, son necesariamente complicados en el sentido de que están mal mezclados con su complemento. De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \sigma}$

El análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan aproximación numérica (a diferencia de las manipulaciones simbólicas generales ) para los problemas de análisis matemático (a diferencia de las matemáticas discretas ). ^[25]

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque en la práctica a menudo es imposible obtenerlas. En cambio, gran parte del análisis numérico se ocupa de obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables para los errores.

El análisis numérico encuentra aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de los cálculos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste (planetas, estrellas y galaxias); el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos; las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales para simular células vivas para la medicina y la biología.

El análisis vectorial , también llamado cálculo vectorial , es una rama del análisis matemático que trata con funciones con valores vectoriales . ^[26]

El análisis escalar es una rama del análisis matemático que se ocupa de valores relacionados con la escala en lugar de la dirección. Valores como la temperatura son escalares porque describen la magnitud de un valor sin tener en cuenta la dirección, la fuerza o el desplazamiento que pueda tener o no ese valor.

• El cálculo de variaciones se ocupa de funcionales extremezantes , a diferencia del cálculo ordinario que se ocupa de funciones .
• El análisis armónico se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas .
• El análisis geométrico implica el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría.
• Análisis de Clifford , el estudio de las funciones con valores de Clifford que son aniquiladas por operadores de Dirac o similares a Dirac, denominadas en general funciones analíticas monogénicas o de Clifford.
• análisis p -ádico , el estudio del análisis dentro del contexto de números p -ádicos , que difiere en algunas formas interesantes y sorprendentes de sus contrapartes reales y complejas.
• Análisis no estándar , que investiga los números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los infinitesimales y los números infinitamente grandes.
• Análisis computable , el estudio de qué partes del análisis pueden llevarse a cabo de manera computable .
• Cálculo estocástico : nociones analíticas desarrolladas para procesos estocásticos .
• Análisis de valores conjuntos : aplica ideas de análisis y topología a funciones de valores conjuntos.
• Análisis convexo , el estudio de conjuntos y funciones convexos.
• Análisis idempotente : análisis en el contexto de un semianillo idempotente , donde la falta de un inverso aditivo se compensa en cierta medida mediante la regla idempotente A + A = A.
  • Análisis tropical : análisis del semianillo idempotente llamado semianillo tropical (o álgebra máxima / álgebra mínima ).
• Análisis constructivo , que se basa en una base de lógica constructiva , en lugar de lógica clásica, y teoría de conjuntos.
• Análisis intuicionista , que se desarrolla a partir de la lógica constructiva como el análisis constructivo pero que también incorpora secuencias de elección .
• Análisis paraconsistente , que se basa en una base de lógica paraconsistente , en lugar de lógica clásica, y teoría de conjuntos.
• Análisis infinitesimal suave , que se desarrolla en un topos suave.

Las técnicas de análisis también se encuentran en otros ámbitos como:

La gran mayoría de la mecánica clásica , la relatividad y la mecánica cuántica se basan en el análisis aplicado, y en particular en las ecuaciones diferenciales . Entre los ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes se incluyen la segunda ley de Newton , la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de campo de Einstein .

El análisis funcional también es un factor importante en la mecánica cuántica .

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes individuales de una forma de onda compuesta, concentrándolos para una detección o eliminación más sencilla. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en aplicar la transformada de Fourier a una señal, manipular los datos transformados de Fourier de una manera sencilla y revertir la transformación. ^[27]

Las técnicas de análisis se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, entre ellas:

• Teoría analítica de números
• Combinatoria analítica
• Probabilidad continua
• Entropía diferencial en la teoría de la información
• Juegos diferenciales
• Geometría diferencial , la aplicación del cálculo a espacios matemáticos específicos conocidos como variedades que poseen una estructura interna complicada pero se comportan de manera simple localmente.
• Variedades diferenciables
• Topología diferencial
• Ecuaciones diferenciales parciales

• Fundamentos del análisis: la aritmética de números enteros racionales, irracionales y complejos, de Edmund Landau
• Introducción al análisis real, por Andrey Kolmogorov y Sergei Fomin ^[28]
• Cálculo diferencial e integral (3 volúmenes), de Grigorii Fichtenholz ^{[29] [30] [31]}
• Los fundamentos del análisis matemático (2 volúmenes), de Grigorii Fichtenholz ^{[32] [33]}
• Un curso de análisis matemático (2 volúmenes), por Sergey Nikolsky ^{[34] [35]}
• Análisis matemático (2 volúmenes), de Vladimir Zorich ^{[36] [37]}
• Curso de matemáticas superiores (5 volúmenes, 6 partes), por Vladimir Smirnov ^{[38] [39] [40] [41] [42]}
• Cálculo diferencial e integral, de Nikolai Piskunov ^[43]
• Un curso de análisis matemático, por Aleksandr Khinchin ^[44]
• Análisis matemático: un curso especial, por Georgiy Shilov ^[45]
• Teoría de funciones de variable real (2 volúmenes), de Isidor Natanson ^{[46] [47]}
• Problemas de análisis matemático, por Boris Demidovich ^[48]
• Problemas y teoremas en análisis (2 volúmenes), de George Pólya , Gábor Szegő ^{[49] [50]}
• Análisis matemático: un enfoque moderno para el cálculo avanzado, por Tom Apostol ^[51]
• Principios del análisis matemático, de Walter Rudin ^[52]
• Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert, por Elias Stein ^[53]
• Análisis complejo: Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja, por Lars Ahlfors ^[54]
• Análisis complejo, por Elias Stein ^[55]
• Análisis funcional: Introducción a otros temas de análisis, por Elias Stein ^[56]
• Análisis (2 volúmenes), por Terence Tao ^{[57] [58]}
• Análisis (3 volúmenes), de Herbert Amann, Joachim Escher ^{[59] [60] [61]}
• Análisis real y funcional, por Vladimir Bogachev, Oleg Smolyanov ^[62]
• Análisis real y funcional, por Serge Lang ^[63]

• Análisis constructivo
• Historia del cálculo
• Análisis hipercomplejo
• Problemas basados ​​en reglas múltiples
• Cálculo multivariable
• Lógica paraconsistente
• Análisis infinitesimal suave
• Cronología del cálculo y análisis matemático

• Aleksandrov, AD ; Kolmogorov, AN ; Lavrent'ev, MA , eds. (marzo de 1969). Matemáticas: su contenido, métodos y significado . Vol. 1–3. Traducido por Gould, SH (2.ª ed.). Cambridge, Massachusetts: The MIT Press / American Mathematical Society .
• Apostol, Tom M. (1974). Análisis matemático (2.ª ed.). Addison–Wesley . ISBN 978-0201002881.
• Binmore, Kenneth George (1981) [1981]. Los fundamentos del análisis: una introducción sencilla . Cambridge University Press .
• Johnsonbaugh, Richard ; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Fundamentos del análisis matemático . Nueva York: M. Dekker .
• Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] (2002). "Análisis matemático". En Hazewinkel, Michiel (ed.). Enciclopedia de Matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 978-1402006098.
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• Rombaldi, Jean-Étienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (en francés). Ciencias EDP . ISBN 978-2868836816.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . ISBN 978-0070542358.
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• Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (1927-01-02). Un curso de análisis moderno: Introducción a la teoría general de procesos infinitos y de funciones analíticas; con una descripción de las principales funciones trascendentales (4.ª ed.). Cambridge: en University Press . ISBN 0521067944.(vi+608 páginas) (reimpreso: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• "Análisis real – Apuntes del curso" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 19 de abril de 2007.

• Los primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas: cálculo y análisis
• Análisis básico: Introducción al análisis real por Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )
• Análisis matemático – Enciclopedia Británica
• Cálculo y análisis