Adecuación

La adecuación es una técnica desarrollada por Pierre de Fermat en su tratado Methodus ad disquirendam maximam et minimam ^{[ 1 ]} (un tratado en latín que circuló en Francia hacia 1636 ) para calcular máximos y mínimos de funciones, tangentes a curvas, área , centro de masa , acción mínima y otros problemas en cálculo .

Según André Weil , Fermat «introduce el término técnico adaequalitas , adaequare , etc., que dice haber tomado prestado de Diofanto . Como muestra Diofanto V.11, significa una igualdad aproximada , y así es como Fermat explica la palabra en uno de sus escritos posteriores». (Weil 1973). ^{[ 2 ]} Diofanto acuñó la palabra παρισότης ( parisotēs ) para referirse a una igualdad aproximada. ^{[ 3 ]} Claude Gaspard Bachet de Méziriac tradujo la palabra griega de Diofanto al latín como adaequalitas . La traducción francesa de Paul Tannery de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos usó las palabras adéquation y adégaler .

Fermat utilizó primero el principio de adecuación para encontrar los máximos de las funciones, y luego lo adaptó para encontrar las líneas tangentes a las curvas.

Para hallar el máximo de un término${\displaystyle p(x)}$, Fermat aproximadamente igualó (es decir, ajustó)${\displaystyle p(x)}$y${\displaystyle p(x+e)}$y después de hacer álgebra (como una aproximación de la serie de Taylor) pudo cancelar un factor de${\displaystyle e,}$y luego descartar cualquier término restante que involucre${\displaystyle e.}$

Para ilustrar el método con el propio ejemplo de Fermat, consideremos el problema de encontrar el máximo de${\displaystyle p(x)=bx-x^{2}}$(en palabras de Fermat, es dividir una línea de longitud${\displaystyle b}$en un punto${\displaystyle x}$, de tal manera que el producto de las dos partes resultantes sea un máximo ^{[ 1 ]} ). Fermat adecuado${\displaystyle bx-x^{2}}$con${\displaystyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}}$. Es decir (usando la notación${\displaystyle \backsim }$para denotar desigualdad, introducido por Paul Tannery ):

${\displaystyle bx-x^{2}\backsim bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}.}$

Cancelar términos y dividir por${\displaystyle e}$Fermat llegó a

${\displaystyle b\backsim 2x+e.}$

Eliminar los términos que contenían${\displaystyle e}$Fermat llegó al resultado deseado de que el máximo ocurrió cuando${\displaystyle x=b/2}$.

Fermat también utilizó su principio para dar una derivación matemática de las leyes de refracción de Snell directamente a partir de su principio de que la luz toma el camino más rápido. ^{[ 4 ]}

El método de Fermat fue duramente criticado por sus contemporáneos, en particular por Descartes . Victor Katz sugiere que esto se debe a que Descartes había descubierto de forma independiente la misma nueva matemática, conocida como su método de las normales , y estaba muy orgulloso de su descubrimiento. Katz también señala que, si bien los métodos de Fermat estaban más cerca de los futuros desarrollos del cálculo, los métodos de Descartes tuvieron un impacto más inmediato en dicho desarrollo. ^{[ 5 ]}

Tanto Newton como Leibniz se refirieron al trabajo de Fermat como antecedente del cálculo infinitesimal . Sin embargo, existe desacuerdo entre los estudiosos modernos sobre el significado exacto de la adecuación de Fermat. La adecuación de Fermat fue analizada en varios estudios académicos. En 1896, Paul Tannery publicó una traducción al francés de los tratados latinos de Fermat sobre máximos y mínimos (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp.  121–156). Tannery tradujo el término de Fermat como «adégaler» y adoptó la «adéquation» de Fermat. Tannery también introdujo el símbolo${\displaystyle \backsim }$para la adecuación en fórmulas matemáticas.

Heinrich Wieleitner (1929) ^{[ 6 ]} escribió:

Fermat reemplaza A por A + E. Luego iguala aproximadamente la nueva expresión a la anterior, cancela los términos iguales en ambos lados y divide por la mayor potencia posible de E. A continuación , cancela todos los términos que contienen E e iguala los restantes. De esto se obtiene A. Que E deba ser lo más pequeño posible no se menciona en ningún momento y, en el mejor de los casos, se expresa con la palabra "adaequalitas".

(Wieleitner utiliza el símbolo${\displaystyle \scriptstyle \sim }$.)

Max Miller (1934) ^{[ 7 ]} escribió:

Entonces uno debe poner ambos términos, que expresan el máximo y el mínimo, aproximadamente iguales ( näherungsweise gleich ), como dice Diofanto.

(Miller utiliza el símbolo${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.)

Jean Itard (1948) ^{[ 8 ]} escribió:

Se sabe que la expresión "adégaler" fue adoptada por Fermat de Diofanto, traducida por Xylander y por Bachet. Se refiere a una igualdad aproximada ( égalité approximative ).

(Itard utiliza el símbolo${\displaystyle \scriptstyle \backsim }$.)

Joseph Ehrenfried Hofmann (1963) ^{[ 9 ]} escribió:

Fermat elige una cantidad h , considerada suficientemente pequeña, y establece que f ( x  + h ) es aproximadamente igual ( ungefähr gleich ) a f ( x ). Su término técnico es adaequare . 

(Hofmann utiliza el símbolo${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.)

Peer Strømholm (1968) ^{[ 10 ]} escribió:

La base del método de Fermat era la comparación de dos expresiones que, aunque tenían la misma forma, no eran exactamente iguales . A esta parte del proceso la llamó " comparare par adaequalitatem " o " comparer per adaequalitatem ", e implicaba que la estricta identidad entre ambos lados de la "ecuación" se destruía por la modificación de la variable en una pequeña cantidad:

${\displaystyle \scriptstyle f(A){\sim }f(A+E)}$.

Creo que este era el verdadero significado de su uso del πἀρισον de Diofanto, al enfatizar la pequeñez de la variación. La traducción habitual de «adaequalitas» parece ser « igualdad aproximada », pero prefiero mucho más « pseudoigualdad » para presentar el pensamiento de Fermat en este punto.

Además, señala que "en M1 (Método 1) nunca se planteó la posibilidad de que la variación E se igualara a cero. Las palabras que Fermat utilizó para expresar el proceso de supresión de términos que contenían E fueron 'elido', 'deleo' y 'expungo', y en francés 'i'efface' e 'i'ôte'. Nos cuesta creer que un hombre cuerdo que deseara expresar su significado y buscara palabras, se encontrara constantemente con formas tan tortuosas de transmitir el simple hecho de que los términos desaparecían porque E era cero." (p.  51) Claus Jensen (1969) ^{[ 11 ]} escribió:

Además, al aplicar la noción de adégalité –que constituye la base del método general de Fermat para construir tangentes, y por la cual se entiende una comparación de dos magnitudes como si fueran iguales, aunque de hecho no lo sean ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint")– emplearé el símbolo más común en la actualidad.${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.

La cita en latín proviene de la edición de Fermat de Tannery de 1891, volumen 1, página 140. Michael Sean Mahoney (1971) ^{[ 12 ]} escribió:

El método de máximos y mínimos de Fermat, claramente aplicable a cualquier polinomio P(x) , se basaba originalmente en fundamentos algebraicos puramente finitos . Partía de la premisa, contrafactual , de la desigualdad de dos raíces iguales para determinar, mediante la teoría de ecuaciones de Viete, una relación entre dichas raíces y uno de los coeficientes del polinomio, una relación que era completamente general. Esta relación conducía a una solución de valores extremos cuando Fermat eliminaba su premisa contrafactual e igualaba las raíces. Tomando prestado un término de Diofanto, Fermat denominó a esta igualdad contrafactual «adequality».

(Mahoney utiliza el símbolo${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.) En la pág.  164, al final de la nota al pie 46, Mahoney señala que uno de los significados de adequality es igualdad aproximada o igualdad en el caso límite . Charles Henry Edwards, Jr. (1979) ^{[ 13 ]} escribió:

Por ejemplo, para determinar cómo subdividir un segmento de longitud${\displaystyle \scriptstyle b}$en dos segmentos${\displaystyle \scriptstyle x}$y${\displaystyle \scriptstyle bx}$cuyo producto${\displaystyle \scriptstyle x(bx)=bx-x^{2}}$es máximo, es decir, encontrar el rectángulo con perímetro${\displaystyle \scriptstyle 2b}$que tiene el área máxima, él [Fermat] procede de la siguiente manera. Primero sustituyó${\displaystyle \scriptstyle x+e}$

(utilizó A , E en lugar de x , e ) para la desconocida x , y luego escribió la siguiente "pseudoigualdad" para comparar la expresión resultante con la original:

${\displaystyle \scriptstyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx+be-x^{2}-2xe-e^{2}\;\sim \;bx-x^{2}.}$

Después de cancelar los términos, dividió por e para obtener${\displaystyle \scriptstyle b-2\,xe\;\sim \;0.}$Finalmente, descartó el término restante que contenía e , transformando la pseudoigualdad en la verdadera igualdad.${\displaystyle \scriptstyle x={\frac {b}{2}}}$eso da el valor de x que hace${\displaystyle \scriptstyle bx-x^{2}}$máximo. Desafortunadamente, Fermat nunca explicó la base lógica de este método con la suficiente claridad o exhaustividad como para evitar desacuerdos entre los historiadores sobre lo que quiso decir o pretendía.

Kirsti Andersen (1980) ^{[ 14 ]} escribió:

Las dos expresiones del máximo o mínimo se hacen "adequal" , lo que significa algo así como lo más cercanas posible a la igualdad .

(Andersen utiliza el símbolo${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.) Herbert Breger (1994) ^{[ 15 ]} escribió:

Quiero plantear mi hipótesis: Fermat usó la palabra "adaequare" en el sentido de "poner igual" ... En un contexto matemático, la única diferencia entre "aequare" y "adaequare" parece ser que este último pone más énfasis en el hecho de que se logra la igualdad.

(Página 197 y siguientes) John Stillwell (Stillwell 2006, pág. 91) escribió:

Fermat introdujo la idea de la adecuación en la década de 1630, pero se adelantó a su tiempo. Sus sucesores no estaban dispuestos a renunciar a la conveniencia de las ecuaciones ordinarias, prefiriendo usar la igualdad de forma imprecisa en lugar de la adecuación con exactitud. La idea de la adecuación resurgió recién en el siglo XX, en el llamado análisis no estándar .

Enrico Giusti (2009) ^{[ 16 ]} cita la carta de Fermat a Marin Mersenne donde Fermat escribió:

Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solución de la question" ("Esta comparación por adecuación produce dos términos desiguales que finalmente producen la igualdad (siguiendo mi método) que nos da la solución del problema").

Giusti señala en una nota a pie de página que esta carta parece haber pasado desapercibida para Breger.

Klaus Barner (2011) ^{[ 17 ]} afirma que Fermat utiliza dos palabras latinas diferentes (aequabitur y adaequabitur) para reemplazar el signo de igualdad habitual hoy en día: aequabitur cuando la ecuación se refiere a una identidad válida entre dos constantes, una fórmula universalmente válida (demostrada) o una ecuación condicional; adaequabitur , sin embargo, cuando la ecuación describe una relación entre dos variables que no son independientes (y la ecuación no es una fórmula válida). En la página 36, ​​Barner escribe: "¿Por qué Fermat repetía continuamente su procedimiento inconsistente en todos sus ejemplos del método de las tangentes? ¿Por qué nunca mencionó la secante, con la que de hecho operaba? No lo sé."

Katz, Schaps, Shnider (2013) ^{[ 18 ]} argumentan que la aplicación de Fermat de la técnica a curvas trascendentales como la cicloide muestra que la técnica de adecuación de Fermat va más allá de un algoritmo puramente algebraico, y que, contrariamente a la interpretación de Breger, los términos técnicos parisotes, como los usa Diofanto, y adaequalitas , como los usa Fermat, significan ambos "igualdad aproximada". Desarrollan una formalización de la técnica de adecuación de Fermat en matemáticas modernas como la función de parte estándar que redondea un número hiperreal finito a su número real más cercano .

• Principio de Fermat
• Ley trascendental de homogeneidad

• Breger, Herbert (1994). "Los misterios de adaequare: una vindicación de fermat". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 46 (3): 193– 219. doi : 10.1007/BF01686277 . S2CID 119440472 . 
• Edwards, CH (1979). El desarrollo histórico del cálculo . doi : 10.1007/978-1-4612-6230-5 . ISBN 978-0-387-94313-8.
• Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. fac. Ciencia. Matemáticas de Toulouse. (6) 18, Fascículo especial, 59–85.
• Grabiner, Judith V. (septiembre de 1983), "El concepto cambiante de cambio: la derivada de Fermat a Weierstrass" , Mathematics Magazine , 56 (4): 195–206 , doi : 10.2307/2689807 , JSTOR 2689807 
• Katz, V. (2008), Historia de las matemáticas: una introducción , Addison Wesley
• Stillwell, J. (2006) Anhelo por lo imposible. Las sorprendentes verdades de las matemáticas , página 91, AK Peters, Ltd. , Wellesley, MA.
• Weil, A. , Reseña del libro: La carrera matemática de Pierre de Fermat. Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), n.º 6, 1138–1149.