Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística , una distribución de probabilidad describe cómo se asignan probabilidades a los posibles resultados de un fenómeno aleatorio; más precisamente, a los eventos , que son conjuntos de posibles resultados de un experimento probabilístico . De manera informal, una distribución de probabilidad nos indica la probabilidad de que ocurran diferentes resultados. Formalmente, es una medida de probabilidad : una función que asigna probabilidades a los eventos de forma que se cumplan los axiomas de probabilidad .

Las distribuciones de probabilidad están estrechamente vinculadas a las variables aleatorias . Una variable aleatoria es una función que asigna un valor a cada resultado de un experimento probabilístico; induce una distribución de probabilidad en el conjunto de valores que puede tomar. Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda puede representarse mediante una variable aleatoria X que es igual a 1 para cara y 0 para cruz. Si la moneda es justa, esta distribución asigna una probabilidad de 1/2 a X = 1 y una probabilidad de 1/2 a X = 0. Vista como una medida de probabilidad, la distribución de X asigna ℙ( X ∈ A ) a cada conjunto A ⊆ {0,1 }; para una moneda justa, ℙ( X ∈ {1}) = ℙ( X ∈ {0}) = 1/2 , ℙ( X ∈ {0,1}) = 1 , y ℙ( X ∈ ∅) = 0 .

En la práctica, las distribuciones de probabilidad suelen describirse mediante funciones como las funciones de distribución acumulativa , las funciones de masa de probabilidad o las funciones de densidad de probabilidad . La descripción que se utilice depende de la naturaleza de la distribución: las funciones de masa de probabilidad se utilizan para distribuciones discretas , mientras que las funciones de densidad de probabilidad se utilizan para muchas distribuciones continuas .

Las distribuciones de probabilidad que ocurren con frecuencia o que tienen una importancia teórica especial suelen recibir nombres específicos; en la lista de distribuciones de probabilidad se recogen ejemplos de ellas .

Una distribución de probabilidad es una descripción matemática de las probabilidades de eventos, es decir, subconjuntos del espacio muestral . El espacio muestral, a menudo representado en notación por${\displaystyle \ \Omega \ ,}$es el conjunto de todos los resultados posibles de un fenómeno aleatorio que se está observando. El espacio muestral puede ser cualquier conjunto de números , vectores , etiquetas o cualquier otra cosa. Por ejemplo, el espacio muestral de un lanzamiento de moneda podría ser Ω = { "cara", "cruz" } , mientras que para un lanzamiento de dado , podría ser Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .

Para definir distribuciones de probabilidad para el caso específico de variables aleatorias (de modo que el espacio muestral pueda mapearse a un espacio medible , por ejemplo, los números reales ), es común distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas . En el caso discreto, basta con especificar una función de probabilidad.${\displaystyle p}$asignar una probabilidad a cada resultado posible (por ejemplo, al lanzar un dado justo, cada uno de los seis dígitos del “1” al “6” , que corresponden al número de puntos en el dado, tiene una probabilidad${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$de estar en la parte superior cuando aterriza). La probabilidad de un evento se define entonces como la suma de las probabilidades de todos los resultados que satisfacen el evento; por ejemplo, la probabilidad del evento "el dado saca un valor par" es $${\displaystyle p({\text{“}}2{\text{”}})+p({\text{“}}4{\text{”}})+p({\text{“}}6{\text{”}})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}.}$$ En cambio, cuando una variable aleatoria toma valores de un continuo, a menos que la función de densidad de probabilidad tenga picos de densidad infinita , cualquier resultado individual tiene probabilidad cero. Para tales variables aleatorias continuas, solo los eventos que incluyen infinitos resultados, como los intervalos , tienen probabilidad mayor que 0.

Por ejemplo, consideremos medir el peso de un trozo de jamón en el supermercado y supongamos que la báscula puede ofrecer una precisión arbitraria en dígitos. En ese caso, la probabilidad de que pese exactamente 500 g debe ser cero, ya que, independientemente del nivel de precisión elegido, no se puede asumir que no haya dígitos distintos de cero después de los que muestra la báscula. Sin embargo, para el mismo caso, es posible cumplir con los requisitos de control de calidad , como que un paquete de "500 g" de jamón pese entre 490 g y 510 g. Esto es posible porque esta medición no requiere una precisión infinita del equipo subyacente y ofrece cierta tolerancia a la variabilidad de los objetos y procesos físicos.    

Las distribuciones de probabilidad continuas pueden describirse mediante la función de distribución acumulativa , que describe la probabilidad de que la variable aleatoria no sea mayor que un valor dado (es decir, P ( X ≤ x ) para algún x ). La función de distribución acumulativa es el área bajo la función de densidad de probabilidad desde -∞ hasta x , como se muestra en la figura 1. ^{[ 1 ]}

La mayoría de las distribuciones de probabilidad continuas que se encuentran en la práctica no solo son continuas, sino también absolutamente continuas . Dichas distribuciones se pueden describir mediante su función de densidad de probabilidad . De manera informal, la función de densidad de probabilidad${\displaystyle f}$de una variable aleatoria${\displaystyle X}$describe el valor relativo de la probabilidad infinitesimal de que${\displaystyle X}$toma cualquier valor${\displaystyle x}$- eso es${\displaystyle P(x\leq X<x+\Delta x)\approx f(x)\,\Delta x}$como${\displaystyle \Delta x>0}$se vuelve arbitrariamente pequeño. La probabilidad de que${\displaystyle X}$Los valores que se encuentran en un intervalo dado se pueden calcular rigurosamente integrando la función de densidad de probabilidad sobre ese intervalo. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$sea ​​un espacio de probabilidad ,${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ser un espacio medible y${\displaystyle X:\Omega \to E}$ser un${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$variable aleatoria con valor . Entonces la distribución de probabilidad de${\displaystyle X}$es la medida de avance de la medida de probabilidad${\displaystyle P}$sobre${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$inducido por${\displaystyle X}$. Explícitamente, esta medida de impulso en${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$es dado por $${\displaystyle X_{*}(P)(B)=P\left(X^{-1}(B)\right)}$$para${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}.}$

Cualquier distribución de probabilidad es una medida de probabilidad en${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$(en general diferente de${\displaystyle P}$, a menos que${\displaystyle X}$resulta ser el mapa identidad). ^{[ 3 ]}

Una distribución de probabilidad puede describirse de diversas formas, como mediante una función de masa de probabilidad o una función de distribución acumulativa. Una de las descripciones más generales, que se aplica a variables absolutamente continuas y discretas, es mediante una función de probabilidad.${\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$cuyo espacio de entrada ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un σ-álgebra y da como resultado una probabilidad de número real , en particular, un número en${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$.

La función de probabilidad${\displaystyle P}$puede tomar como argumento subconjuntos del propio espacio muestral, como en el ejemplo del lanzamiento de moneda, donde la función${\displaystyle P}$se definió de modo que P (cara) = 0,5 y P (cruz) = 0,5 . Sin embargo, debido al uso generalizado de variables aleatorias , que transforman el espacio muestral en un conjunto de números (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} }$,${\displaystyle \mathbb {N} }$), es más común estudiar distribuciones de probabilidad cuyos argumentos son subconjuntos de estos tipos particulares de conjuntos (conjuntos numéricos), ^{[ 4 ]} y todas las distribuciones de probabilidad discutidas en este artículo son de este tipo. Es común denotar como${\displaystyle P(X\in E)}$la probabilidad de que un cierto valor de la variable${\displaystyle X}$pertenece a un determinado evento${\displaystyle E}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La función de probabilidad anterior solo caracteriza una distribución de probabilidad si satisface todos los axiomas de Kolmogorov , es decir:

1. ${\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, por lo tanto, la probabilidad es no negativa
2. ${\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, por lo que ninguna probabilidad excede${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})}$para cualquier familia disjunta numerable de conjuntos${\displaystyle \{E_{i}\}}$

El concepto de función de probabilidad se hace más riguroso al definirlo como el elemento de un espacio de probabilidad.${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$, dónde${\displaystyle X}$es el conjunto de resultados posibles,${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es el conjunto de todos los subconjuntos${\displaystyle E\subset X}$cuya probabilidad puede medirse, y${\displaystyle P}$es la función de probabilidad, o medida de probabilidad, que asigna una probabilidad a cada uno de estos subconjuntos medibles.${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$. ^{[ 7 ]}

Las distribuciones de probabilidad generalmente pertenecen a una de dos clases.

Una distribución de probabilidad discreta es aplicable a los escenarios donde el conjunto de resultados posibles es discreto (por ejemplo, lanzar una moneda o un dado) y las probabilidades están codificadas por una lista discreta de las probabilidades de los resultados; en este caso, las probabilidades se describen mediante una función de masa de probabilidad y la distribución de probabilidad viene dada por una suma de la función de masa de probabilidad.

Una distribución de probabilidad absolutamente continua es aplicable a escenarios donde el conjunto de resultados posibles puede tomar valores en un rango continuo (por ejemplo, números reales), como la temperatura en un día determinado. En el caso absolutamente continuo, las probabilidades se describen mediante una función de densidad de probabilidad , y la distribución de probabilidad es, por definición, la integral de la función de densidad de probabilidad. ^{[ 5 ] [ 2 ] [ 6 ]} La distribución normal es una distribución de probabilidad absolutamente continua que se encuentra comúnmente. Experimentos más complejos, como aquellos que involucran procesos estocásticos definidos en tiempo continuo , pueden requerir el uso de medidas de probabilidad más generales .

Una distribución de probabilidad cuyo espacio muestral es unidimensional (por ejemplo, números reales, lista de etiquetas, etiquetas ordenadas o binarias) se llama univariada , mientras que una distribución cuyo espacio muestral es un espacio vectorial de dimensión 2 o más se llama multivariada . Una distribución univariada da las probabilidades de que una sola variable aleatoria tome varios valores diferentes; una distribución multivariada (una distribución de probabilidad conjunta ) da las probabilidades de que un vector aleatorio —una lista de dos o más variables aleatorias— tome varias combinaciones de valores. Las distribuciones de probabilidad univariadas importantes y comunes incluyen la distribución binomial , la distribución hipergeométrica y la distribución normal . Una distribución multivariada común es la distribución normal multivariada .

Además de la función de probabilidad, la función de distribución acumulativa, la función de masa de probabilidad y la función de densidad de probabilidad, la función generadora de momentos y la función característica también sirven para identificar una distribución de probabilidad, ya que determinan de forma única una función de distribución acumulativa subyacente. ^{[ 8 ]}

A continuación se enumeran algunos conceptos y términos clave, ampliamente utilizados en la literatura sobre el tema de las distribuciones de probabilidad. ^{[ 9 ]}

En el caso especial de una variable aleatoria de valor real, la distribución de probabilidad puede representarse de forma equivalente mediante una función de distribución acumulativa en lugar de una medida de probabilidad. La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria${\displaystyle X}$con respecto a una distribución de probabilidad${\displaystyle p}$se define como $${\displaystyle F(x)=P(X\leq x).}$$

La función de distribución acumulativa de cualquier variable aleatoria de valor real tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle F(x)}$es no decreciente ;
• ${\displaystyle F(x)}$es continua por la derecha ;
• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$y${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$; y
• ${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$.

Por el contrario, cualquier función${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$que satisface las primeras cuatro de las propiedades anteriores es la función de distribución acumulativa de alguna distribución de probabilidad sobre los números reales. ^{[ 12 ]}

Cualquier distribución de probabilidad puede descomponerse como la mezcla de una distribución discreta , una distribución absolutamente continua y una distribución singular continua , ^{[ 13 ]} y por lo tanto cualquier función de distribución acumulativa admite una descomposición como la suma convexa de las tres funciones de distribución acumulativa correspondientes.

Una distribución de probabilidad discreta es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria que puede tomar solo un número contable de valores ^{[ 14 ]} ( casi seguramente ) ^{[ 15 ]} lo que significa que la probabilidad de cualquier evento${\displaystyle E}$puede expresarse como una suma (finita o infinitamente numerable ): $${\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A\cap E}P(X=\omega ),}$$ dónde${\displaystyle A}$es un conjunto contable con${\displaystyle P(X\in A)=1}$Por lo tanto, las variables aleatorias discretas (es decir, variables aleatorias cuya distribución de probabilidad es discreta) son precisamente aquellas con una función de masa de probabilidad.${\displaystyle p(x)=P(X=x)}$. En el caso de que el rango de valores sea infinito numerable, estos valores deben disminuir a cero lo suficientemente rápido para que las probabilidades sumen 1. Por ejemplo, si${\displaystyle p(n)={\tfrac {1}{2^{n}}}}$para${\displaystyle n=1,2,...}$, la suma de probabilidades sería${\displaystyle 1/2+1/4+1/8+\dots =1}$.

Entre las distribuciones de probabilidad discretas más conocidas utilizadas en el modelado estadístico se incluyen la distribución de Poisson , la distribución de Bernoulli , la distribución binomial , la distribución geométrica , la distribución binomial negativa y la distribución categórica . ^{[ 16 ]} Cuando se extrae una muestra (un conjunto de observaciones) de una población mayor, los puntos de la muestra tienen una distribución empírica discreta que proporciona información sobre la distribución de la población. Además, la distribución uniforme discreta se utiliza comúnmente en programas informáticos que realizan selecciones aleatorias de igual probabilidad entre varias opciones.

Una distribución de probabilidad absolutamente continua es una distribución de probabilidad sobre los números reales con una cantidad incontable de valores posibles, como un intervalo completo en la recta real, y donde la probabilidad de cualquier evento puede expresarse como una integral. ^{[ 19 ]} Más precisamente, una variable aleatoria real${\displaystyle X}$tiene una distribución de probabilidad absolutamente continua si existe una función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]}$de tal manera que para cada intervalo${\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }$la probabilidad de${\displaystyle X}$perteneciente a${\displaystyle I}$viene dada por la integral de${\displaystyle f}$encima${\displaystyle I}$: ^{[ 20 ] [ 21 ]}$${\displaystyle P\left(a\leq X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$ Esta es la definición de una función de densidad de probabilidad , de modo que las distribuciones de probabilidad absolutamente continuas son precisamente aquellas con una función de densidad de probabilidad. En particular, la probabilidad de${\displaystyle X}$tomar cualquier valor único${\displaystyle a}$(eso es,${\displaystyle a\leq X\leq a}$) es cero, porque una integral con límites superior e inferior coincidentes siempre es igual a cero. Si el intervalo${\displaystyle [a,b]}$es reemplazado por cualquier conjunto medible${\displaystyle A}$, la igualdad correspondiente sigue vigente: $${\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx.}$$

Una variable aleatoria absolutamente continua es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es absolutamente continua.

Hay muchos ejemplos de distribuciones de probabilidad absolutamente continuas: normal , uniforme , chi-cuadrado y otras .

En la formalización teórica de la medida de la teoría de la probabilidad , una variable aleatoria se define como una función medible.${\displaystyle X}$de un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$a un espacio medible${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$Dado que las probabilidades de eventos de la forma${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}}$satisfacer los axiomas de probabilidad de Kolmogorov , la distribución de probabilidad de${\displaystyle X}$es la medida de la imagen${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} }$de${\displaystyle X}$, que es una medida de probabilidad en${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$satisfactorio${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} =\mathbb {P} X^{-1}}$. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

Distribuciones absolutamente continuas y discretas con soporte en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$o${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$son extremadamente útiles para modelar una miríada de fenómenos, ^{[ 5 ] [ 1 ]} ya que la mayoría de las distribuciones prácticas están soportadas en subconjuntos relativamente simples, como hipercubos o bolas . Sin embargo, este no siempre es el caso, y existen fenómenos con soportes que en realidad son curvas complicadas.${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} dentro de algún espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$o similar. En estos casos, la distribución de probabilidad se apoya en la imagen de dicha curva y es probable que se determine empíricamente, en lugar de encontrar una fórmula cerrada para ella. ^{[ 25 ]}

Un ejemplo se muestra en la figura de la derecha, que ilustra la evolución de un sistema de ecuaciones diferenciales (comúnmente conocidas como ecuaciones de Rabinovich-Fabrikant ) que se puede utilizar para modelar el comportamiento de las ondas de Langmuir en el plasma . ^{[ 26 ]} Cuando se estudia este fenómeno, los estados observados del subconjunto se indican en rojo. Por lo tanto, se podría preguntar cuál es la probabilidad de observar un estado en una posición determinada del subconjunto rojo; si existe tal probabilidad, se denomina medida de probabilidad del sistema. ^{[ 27 ] [ 25 ]}

Este tipo de soporte complicado aparece con bastante frecuencia en sistemas dinámicos . No es sencillo establecer que el sistema tenga una medida de probabilidad, y el problema principal es el siguiente. Sea${\displaystyle t_{1}\ll t_{2}\ll t_{3}}$ser instantes en el tiempo y${\displaystyle O}$un subconjunto del soporte; si existe la medida de probabilidad para el sistema, se esperaría la frecuencia de observar estados dentro del conjunto${\displaystyle O}$sería igual en intervalo${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$y${\displaystyle [t_{2},t_{3}]}$, lo cual podría no ocurrir; por ejemplo, podría oscilar de forma similar a un seno,${\displaystyle \sin(t)}$, cuyo límite cuando${\displaystyle t\rightarrow \infty }$no converge. Formalmente, la medida existe solo si el límite de la frecuencia relativa converge cuando el sistema se observa en el futuro infinito. ^{[ 28 ]} La rama de los sistemas dinámicos que estudia la existencia de una medida de probabilidad es la teoría ergódica .

Cabe señalar que, incluso en estos casos, la distribución de probabilidad, si existe, podría denominarse "absolutamente continua" o "discreta" dependiendo de si el soporte es no numerable o numerable, respectivamente.

El teorema de descomposición de Lebesgue establece que cualquier distribución de probabilidad en la recta real puede descomponerse de forma única en una mezcla de tres tipos fundamentales: ${\displaystyle F=\alpha F_{\text{discrete}}+\beta F_{\text{ac}}+\gamma F_{\text{singular}}}$ donde coeficientes${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in [0,1]}$la suma es 1. Los tres componentes son: ^{[ 29 ]}

• Discreto : La probabilidad se concentra en un conjunto contable de valores (puntos). La función de distribución acumulativa (FDA) es una función escalonada.
• Absolutamente continua : La distribución tiene una función de densidad de probabilidad.${\displaystyle f(x)}$de tal manera que${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$El conjunto de valores con densidad de probabilidad distinta de cero tiene una medida de Lebesgue mayor que cero.
• Continuo singular : La función de distribución acumulada (FDA) es continua en todas partes, pero su derivada es casi cero en todas partes (con respecto a la medida de Lebesgue). La probabilidad se concentra en un conjunto de medida cero (por ejemplo, el conjunto de Cantor ). Un ejemplo clásico es la distribución de Cantor .

La mayoría de las distribuciones estándar en aplicaciones estadísticas son puramente discretas (${\displaystyle \alpha =1}$) o puramente absolutamente continuo (${\displaystyle \beta =1}$Las distribuciones singulares rara vez aparecen en la estadística aplicada, pero son importantes en la teoría de los procesos estocásticos y los fractales .

La mayoría de los algoritmos se basan en un generador de números pseudoaleatorios que produce números${\displaystyle X}$que se distribuyen uniformemente en el intervalo semiabierto [ 0, 1) . Estas variables aleatorias${\displaystyle X}$Luego se transforman mediante algún algoritmo para crear una nueva variable aleatoria con la distribución de probabilidad requerida. Con esta fuente de pseudoaleatoriedad uniforme, se pueden generar realizaciones de cualquier variable aleatoria. ^{[ 30 ]}

Por ejemplo, supongamos que U tiene una distribución uniforme entre 0 y 1. Para construir una variable aleatoria de Bernoulli para algún 0 < p < 1 , definimos $${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{if }}U<p\\0&{\text{if }}U\geq p.\end{cases}}}$$ Por lo tanto, tenemos $${\displaystyle P(X=1)=P(U<p)=p,\quad P(X=0)=P(U\geq p)=1-p.}$$ Por lo tanto, la variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p . ^{[ 30 ]}

Este método puede adaptarse para generar variables aleatorias de valor real con cualquier distribución: para cualquier función de distribución acumulativa F , sea F ^inv la inversa izquierda generalizada de${\displaystyle F,}$también conocida en este contexto como función cuantil o función de distribución inversa : $${\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}$$ Entonces, F ^inv ( p ) ≤ x si y solo si p ≤ F ( x ) . Como resultado, si U se distribuye uniformemente en [0, 1] , entonces la función de distribución acumulativa de X = F ^inv ( U ) es F .

Por ejemplo, supongamos que queremos generar una variable aleatoria con una distribución exponencial con parámetro${\displaystyle \lambda }$— es decir, con función de distribución acumulativa${\displaystyle F:x\mapsto 1-e^{-\lambda x}.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=u&\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x}=u\\[2pt]&\Leftrightarrow e^{-\lambda x}=1-u\\[2pt]&\Leftrightarrow -\lambda x=\ln(1-u)\\[2pt]&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)\end{aligned}}}$$ entonces${\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(u)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u)}$y si U tiene una distribución uniforme en [0, 1) entonces${\displaystyle X=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-U)}$tiene una distribución exponencial con parámetro${\displaystyle \lambda .}$^{[ 30 ]}

Si bien desde un punto de vista teórico este método siempre funciona, en la práctica la función de distribución inversa es desconocida o no se puede calcular de manera eficiente. En este caso, se utilizan otros métodos (como el método de Monte Carlo ).

El concepto de distribución de probabilidad y las variables aleatorias que describe constituyen la base de la teoría de la probabilidad y la estadística. Casi cualquier valor medible en una población presenta dispersión o variabilidad (por ejemplo, la estatura, la durabilidad de un metal, el crecimiento de las ventas, el flujo de tráfico, etc.); prácticamente todas las mediciones se realizan con cierto margen de error intrínseco. En física, muchos procesos se describen probabilísticamente, desde las propiedades cinéticas de los gases hasta la descripción cuántica de las partículas fundamentales . Por estas y muchas otras razones, los números simples suelen ser insuficientes para describir una magnitud, mientras que las distribuciones de probabilidad resultan más apropiadas.

A continuación se presenta una lista de algunas de las distribuciones de probabilidad más comunes, agrupadas según el tipo de proceso al que se refieren. Para una lista más completa, consulte la lista de distribuciones de probabilidad , que las agrupa según la naturaleza del resultado considerado (discreto, continuo, multivariado, etc.).

Todas las distribuciones univariadas que se muestran a continuación tienen un solo pico; es decir, se supone que los valores se agrupan alrededor de un único punto. En la práctica, las cantidades observadas pueden agruparse alrededor de múltiples valores. Dichas cantidades pueden modelarse mediante una distribución de mezcla .

Un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad es la convergencia de secuencias de distribuciones de probabilidad. Una secuencia de distribuciones de probabilidad${\displaystyle (P_{n})}$Se dice que converge débilmente (o en distribución ) a una distribución de probabilidad.${\displaystyle P}$si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(A)=P(A)}$ para cada conjunto${\displaystyle A}$cuyo límite tiene${\displaystyle P}$-probabilidad 0.

De forma equivalente, utilizando funciones de distribución acumulativa , la secuencia${\displaystyle F_{n}}$converge a${\displaystyle F}$si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$ por cada${\displaystyle x}$en el cual${\displaystyle F}$es continuo. ^{[ 35 ]}

Este concepto es esencial para el teorema del límite central , que establece que la distribución de probabilidad de la suma estandarizada de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas converge a la distribución normal estándar , independientemente de la distribución subyacente de las variables individuales. ^{[ 36 ]}

• Distribución de probabilidad condicional
• Distribución de probabilidad empírica
• Histograma
• Distribución de probabilidad conjunta
• Medida de probabilidad
• Distribución de cuasiprobabilidad
• Aplicación de la integral de Riemann-Stieltjes a la teoría de la probabilidad

• "Distribución de probabilidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Guía práctica de distribuciones de probabilidad continuas , Gavin E. Crooks.
• Distinción entre medida de probabilidad, función y distribución , Math Stack Exchange