Distribución binomial negativa

La función de probabilidad de la distribución binomial negativa es $${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}}$$ donde r es el número de éxitos, X = k es el número de fracasos antes del r -ésimo éxito, y p es la probabilidad de éxito en cada ensayo.

Aquí, la cantidad entre paréntesis es el coeficiente binomial y es igual a $${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,k!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\ \Gamma (r)}}=\left(\!\!{r \choose k}\!\!\right).}$$ Nótese que Γ( r ) es la función Gamma y${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$es el coeficiente del multiconjunto .

Se eligen k fallos de entre k + r − 1 ensayos en lugar de k + r porque el último de los k + r ensayos es, por definición, un éxito.

Esta cantidad también puede escribirse de la siguiente manera, lo que explica el nombre de "binomio negativo":

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[10pt]={}&(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-(k-1))} ^{k{\text{ factores}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}$$

Nótese que por la última expresión y la serie binomial , para cada 0 ≤ p < 1 y${\displaystyle q=1-p}$,

$${\displaystyle p^{-r}=(1-q)^{-r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}(-q)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}q^{k}}$$

Por lo tanto, los términos de la función de masa de probabilidad efectivamente suman uno, como se muestra a continuación. $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}\left(1-p\right)^{k}p^{r}=p^{-r}p^{r}=1}$$

Para comprender la definición anterior de la función de masa de probabilidad, observe que la probabilidad para cada secuencia específica de r  éxitos y k  fracasos es p ^r (1 − p ) ^k , porque se supone que los resultados de los k + r ensayos ocurren de forma independiente . Dado que el r -ésimo éxito siempre llega al final, queda elegir los k  ensayos con fracasos de entre los k + r − 1 ensayos restantes. El coeficiente binomial anterior, debido a su interpretación combinatoria, da precisamente el número de todas estas secuencias de longitud k + r − 1 .

Una interpretación alternativa del coeficiente binomial de la función de masa de probabilidad surge al considerar el coeficiente multiconjunto equivalente.${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$Una secuencia de ensayos que termina en r éxitos puede representarse mediante una tupla de r enteros no negativos, donde cada entero representa el número de fallos observados antes del siguiente éxito. Luego, aplicando estrellas y barras , se puede ver que el número de tales tuplas que suman k (y por lo tanto representan k fallos totales y r éxitos totales) viene dado por${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$.

La función de distribución acumulativa puede expresarse en términos de la función beta incompleta regularizada : ^{[ 3 ] [ 6 ]}$${\displaystyle F(k;r,p)\equiv \Pr(X\leq k)=I_{p}(r,k+1).}$$ (Esta fórmula utiliza la misma parametrización que en la tabla del artículo, donde r es el número de éxitos y${\displaystyle p=r/(r+\mu )}$con${\displaystyle \mu }$la media.)

También puede expresarse en términos de la función de distribución acumulativa de la distribución binomial : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle F(k;r,p)=F_{\text{binomial}}(k;n=k+r,1-p).}$$

Algunas fuentes pueden definir la distribución binomial negativa de forma ligeramente diferente a la que se presenta aquí. Las variaciones más comunes se dan cuando la variable aleatoria X cuenta diferentes elementos. Estas variaciones se pueden observar en la tabla que se muestra a continuación:

Cada una de las cuatro definiciones de la distribución binomial negativa puede expresarse de maneras ligeramente diferentes pero equivalentes. La primera formulación alternativa es simplemente una forma equivalente del coeficiente binomial, es decir:${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{ab}}\quad {\text{para }}\ 0\leq b\leq a}$La segunda formulación alternativa simplifica un poco la expresión al reconocer que el número total de ensayos es simplemente el número de éxitos y fracasos, es decir:${\textstyle n=r+k}$Estas segundas formulaciones pueden ser más intuitivas de entender, sin embargo, quizás sean menos prácticas ya que contienen más términos.

• La definición donde X es el número de n ensayos que ocurren para un número dado de r éxitos es similar a la definición principal, excepto que se da el número de ensayos en lugar del número de fallos. Esto suma r al valor de la variable aleatoria, modificando su rango y su media.
• La definición donde X es el número de k éxitos (o n ensayos ) que ocurren para un número dado de r fallos es similar a la definición principal utilizada en este artículo, excepto que el número de fallos y éxitos se intercambia al considerar qué se está contando y qué se da. Sin embargo, tenga en cuenta que p sigue refiriéndose a la probabilidad de "éxito".
• La definición de la distribución binomial negativa puede extenderse al caso en que el parámetro r puede tomar un valor real positivo . Si bien es imposible visualizar un número no entero de "fallos", aún podemos definir formalmente la distribución a través de su función de probabilidad. El problema de extender la definición a valores reales (positivos) de r se reduce a extender el coeficiente binomial a su contraparte de valor real, basándose en la función gamma :$${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}}$$Después de sustituir esta expresión en la definición original, decimos que X tiene una distribución binomial negativa (o de Pólya ) si tiene una función de masa de probabilidad :$${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}\quad {\text{para }}k=0,1,2,\dotsc }$$Aquí r es un número real y positivo.

En la regresión binomial negativa, ^{[ 16 ]} la distribución se especifica en términos de su media,${\textstyle m={\frac {r(1-p)}{p}}}$, que luego se relaciona con variables explicativas como en la regresión lineal u otros modelos lineales generalizados . A partir de la expresión para la media m , se puede derivar${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$y${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$Luego, al sustituir estas expresiones en la de la función de masa de probabilidad cuando r es de valor real , se obtiene esta parametrización de la función de masa de probabilidad en términos de m : 

$${\displaystyle \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\left({\frac {r}{r+m}}\right)^{r}\left({\frac {m}{r+m}}\right)^{k}\quad {\text{para }}k=0,1,2,\dotsc }$$ La varianza se puede escribir entonces como${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$Algunos autores prefieren establecer${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$y expresar la varianza como${\textstyle m+\alpha m^{2}}$En este contexto, y según el autor, el parámetro r o su recíproco α se denomina "parámetro de dispersión", " parámetro de forma " o " coeficiente de agrupamiento " ^{[ 17 ]} , o "heterogeneidad" ^{[ 16 ]} o parámetro de "agregación" ^{[ 11 ]} . El término "agregación" se utiliza particularmente en ecología al describir recuentos de organismos individuales. La disminución del parámetro de agregación r hacia cero corresponde a una mayor agregación de los organismos; el aumento de r hacia el infinito corresponde a la ausencia de agregación, como se puede describir mediante la regresión de Poisson .

A veces , la distribución se parametriza en términos de su media μ y varianza σ² ^:$${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\\[6pt]&r={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }},\\[3pt]&\Pr(X=k)={k+{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }}-1 \choose k}\left(1-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{k}\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{\mu ^{2}/(\sigma ^{2}-\mu )}\\&\operatorname {E} (X)=\mu \\&\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

Otra parametrización popular utiliza r y las probabilidades de fallo β : $${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {1}{1+\beta }}\\&\Pr(X=k)={k+r-1 \choose k}\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)^{r}\\&\operatorname {E} (X)=r\beta \\&\operatorname {Var} (X)=r\beta (1+\beta ).\end{aligned}}}$$

El número total esperado de ensayos necesarios para ver r éxitos es${\displaystyle {\frac {r}{p}}}$Por lo tanto, el número esperado de fallos sería este valor, menos los éxitos: $${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {NB} (r,p)]={\frac {r}{p}}-r={\frac {r(1-p)}{p}}}$$

El número total esperado de fallos en una distribución binomial negativa con parámetros ( r , p ) es r (1 − p )/ p . Para ver esto, imaginemos que se realiza un experimento que simula la distribución binomial negativa muchas veces. Es decir, se realiza un conjunto de ensayos hasta obtener r éxitos, luego otro conjunto de ensayos, y así sucesivamente. Anotemos el número de ensayos realizados en cada experimento: a , b , c , ... y establezcamos a + b + c + ... = N. Ahora esperaríamos aproximadamente Np éxitos en total. Digamos que el experimento se realizó n veces. Entonces hay nr éxitos en total. Por lo tanto, esperaríamos nr = Np , de modo que N / n = r / p . N / n es simplemente el número promedio de ensayos por experimento. Eso es lo que entendemos por "expectativa". El número promedio de fallos por experimento es N / n − r = r / p − r = r (1 − p )/ p . Esto coincide con la media que se muestra en el recuadro de la derecha de esta página.

Se puede realizar una derivación rigurosa representando la distribución binomial negativa como la suma de los tiempos de espera. Sea${\displaystyle X_{r}\sim \operatorname {NB} (r,p)}$con la convención${\displaystyle X}$representa el número de fallos observados antes${\displaystyle r}$éxitos con la probabilidad de éxito siendo${\displaystyle p}$. Y deja${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Geom} (p)}$dónde${\displaystyle Y_{i}}$representa el número de fracasos antes de ver un éxito. Podemos pensar en${\displaystyle Y_{i}}$como el tiempo de espera (número de fallos) entre el${\displaystyle i}$y${\displaystyle (i-1)}$el éxito. Por lo tanto $${\displaystyle X_{r}=Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{r}.}$$ La media es $${\displaystyle \operatorname {E} [X_{r}]=\operatorname {E} [Y_{1}]+\operatorname {E} [Y_{2}]+\cdots +\operatorname {E} [Y_{r}]={\frac {r(1-p)}{p}},}$$ lo cual se deduce del hecho${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{i}]=(1-p)/p}$.

Al contar el número de fallos antes del r -ésimo éxito, la varianza es r (1 − p )/ p ² . Al contar el número de éxitos antes del r -ésimo fallo, como en la formulación alternativa (3) anterior, la varianza es rp /(1 − p ) ² .  

Supongamos que Y es una variable aleatoria con una distribución binomial con parámetros n y p . Supongamos que p + q = 1 , con p , q ≥ 0 , entonces

$${\displaystyle 1=1^{n}=(p+q)^{n}.}$$

Utilizando el teorema del binomio de Newton , esto también se puede escribir como:

$${\displaystyle (p+q)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k},}$$

en el que el límite superior de la suma es infinito. En este caso, el coeficiente binomial

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \over k!}.}$$

se define cuando n es un número real, en lugar de solo un entero positivo . Pero en nuestro caso de la distribución binomial es cero cuando k > n . Entonces podemos decir, por ejemplo

$${\displaystyle (p+q)^{8.3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {8.3}{k}}p^{k}q^{8.3-k}.}$$

Ahora supongamos que r > 0 y usamos un exponente negativo:

$${\displaystyle 1=p^{r}\cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}.}$$

Entonces todos los términos son positivos y el término

$${\displaystyle p^{r}{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}={\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}}$$

es simplemente la probabilidad de que el número de fallos antes del r -ésimo éxito sea igual a k , siempre que r sea un número entero. (Si r es un número no entero negativo, de modo que el exponente sea un número no entero positivo, entonces algunos de los términos de la suma anterior son negativos, por lo que no tenemos una distribución de probabilidad sobre el conjunto de todos los enteros no negativos).

Ahora también permitimos valores no enteros de r .

Recuerde de lo anterior que

La suma de variables aleatorias independientes con distribución binomial negativa r ₁ y r ₂ con el mismo valor para el parámetro p tiene una distribución binomial negativa con el mismo p pero con un valor r r ₁ + r ₂ . 

Esta propiedad persiste cuando la definición se generaliza de esta manera, y ofrece una forma rápida de ver que la distribución binomial negativa es infinitamente divisible .

Se cumplen las siguientes relaciones de recurrencia :

Para la función de masa de probabilidad $${\displaystyle {\begin{cases}(k+1)\Pr(X=k+1)-(1-p)\Pr(X=k)(k+r)=0,\\[5pt]\Pr(X=0)=(1-p)^{r}.\end{cases}}}$$

Por el momento${\displaystyle m_{k}=\mathbb {E} (X^{k}),}$$${\displaystyle m_{k+1}=rPm_{k}+(P^{2}+P){dm_{k} \over dP},\quad P:=(1-p)/p,\quad m_{0}=1.}$$

Para los cumulantes $${\displaystyle \kappa _{k+1}=(Q-1)Q{d\kappa _{k} \over dQ},\quad Q:=1/p,\quad \kappa _{1}=r(Q-1).}$$

Consideremos una secuencia de variables aleatorias binomiales negativas donde el parámetro de parada r tiende a infinito, mientras que la probabilidad p de éxito en cada ensayo tiende a uno, de tal manera que la media de la distribución (es decir, el número esperado de fallos) se mantenga constante. Denotando esta media como λ , el parámetro p será p = r / ( r + λ ).$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Mean:}}\quad &\lambda ={\frac {(1-p)r}{p}}\quad \Rightarrow \quad p={\frac {r}{r+\lambda }},\\{\text{Variance:}}\quad &\lambda \left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)>\lambda ,\quad {\text{thus always overdispersed}}.\end{aligned}}}$$

Bajo esta parametrización, la función de masa de probabilidad será $${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\cdot \Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)\;(r+\lambda )^{k}}}\cdot {\frac {1}{\left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)^{r}}}}$$

Ahora bien, si consideramos el límite cuando r → ∞ , el segundo factor convergerá a uno y el tercero a la función exponencial: $${\displaystyle \lim _{r\to \infty }f(k;r,p)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{e^{\lambda }}},}$$ que es la función de masa de una variable aleatoria con distribución de Poisson con valor esperado λ . 

En otras palabras, la distribución binomial negativa con parámetros alternativos converge a la distribución de Poisson, y r controla la desviación respecto a esta. Esto hace que la distribución binomial negativa sea una alternativa robusta a la de Poisson, ya que se aproxima a ella para valores grandes de r , pero presenta una varianza mayor para valores pequeños de r . $${\displaystyle \operatorname {Poisson} (\lambda )=\lim _{r\to \infty }\operatorname {NB} \left(r,{\frac {r}{r+\lambda }}\right).}$$

La distribución binomial negativa también surge como una mezcla continua de distribuciones de Poisson (es decir, una distribución de probabilidad compuesta ) donde la distribución de mezcla de la tasa de Poisson es una distribución gamma . Es decir, podemos ver la binomial negativa como una distribución de Poisson( λ ) , donde λ es en sí misma una variable aleatoria, distribuida como una distribución gamma con forma r y escala θ = (1 − p )/ p o correspondientemente tasa β = p /(1 − p ) .

Para ilustrar la intuición detrás de esta afirmación, consideremos dos procesos de Poisson independientes, "Éxito" y "Fracaso", con intensidades p y 1 − p . Juntos, los procesos de Éxito y Fracaso son equivalentes a un único proceso de Poisson de intensidad 1, donde una ocurrencia del proceso es un éxito si un lanzamiento de moneda independiente correspondiente resulta en cara con probabilidad p ; de lo contrario, es un fracaso. Si r es un número de conteo, los lanzamientos de moneda muestran que el conteo de éxitos antes del r -ésimo fracaso sigue una distribución binomial negativa con parámetros r y 1 − p . Sin embargo, el conteo también es el conteo del proceso de Poisson de Éxito en el tiempo aleatorio T de la r -ésima ocurrencia en el proceso de Poisson de Fracaso. El recuento de éxitos sigue una distribución de Poisson con media pT , donde T es el tiempo de espera para r ocurrencias en un proceso de Poisson de intensidad 1 − p , es decir, T tiene una distribución gamma con parámetro de forma r e intensidad 1 − p . Por lo tanto, la distribución binomial negativa es equivalente a una distribución de Poisson con media pT , donde la variable aleatoria T tiene una distribución gamma con parámetro de forma r e intensidad (1 − p ) . El párrafo anterior se deduce porque λ = pT tiene una distribución gamma con parámetro de forma r e intensidad (1 − p )/ p .

La siguiente derivación formal (que no depende de que r sea un número natural) confirma la intuición.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Poisson} (\lambda )}(k)\times f_{\operatorname {Gamma} \left(r,\,{\frac {p}{1-p}}\right)}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\times {\frac {1}{\Gamma (r)}}\left({\frac {p}{1-p}}\lambda \right)^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\left({\frac {p}{1-p}}\,\right)\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{r+k-1}e^{-\lambda {\frac {p+1-p}{1-p}}}\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\Gamma (r+k)(1-p)^{k+r}\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Gamma} \left(k+r,{\frac {1}{1-p}}\right)}(\lambda )\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&{\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;(1-p)^{k}\,p^{r}\\[8pt]={}&f(k;r,p).\end{aligned}}}$$

Debido a esto, la distribución binomial negativa también se conoce como distribución gamma-Poisson (de mezcla) . La distribución binomial negativa se derivó originalmente como un caso límite de la distribución gamma-Poisson. ^{[ 20 ]}

Si Y _r es una variable aleatoria que sigue la distribución binomial negativa con parámetros r y p , y soporte {0, 1, 2, ...} , entonces Y _r es una suma de r variables independientes que siguen la distribución geométrica (en {0, 1, 2, ...} ) con parámetro p . Como resultado del teorema del límite central , Y _r (debidamente escalada y desplazada) es, por lo tanto, aproximadamente normal para valores de r suficientemente grandes . 

Además, si B _{s + r} es una variable aleatoria que sigue la distribución binomial con parámetros s + r y p , entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y_{r}\leq s)&{}=1-I_{p}(s+1,r)\\[5pt]&{}=1-I_{p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1)\\[5pt]&{}=1-\Pr(B_{s+r}\leq r-1)\\[5pt]&{}=\Pr(B_{s+r}\geq r)\\[5pt]&{}=\Pr({\text{after }}s+r{\text{ trials, there are at least }}r{\text{ successes}}).\end{aligned}}}$$

En este sentido, la distribución binomial negativa es la "inversa" de la distribución binomial.

La suma de variables aleatorias independientes con distribución binomial negativa r ₁ y r ₂ con el mismo valor para el parámetro p tiene una distribución binomial negativa con el mismo p pero con un valor r r ₁ + r ₂ . 

La distribución binomial negativa es infinitamente divisible , es decir, si Y tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n , existen variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas Y ₁ , ..., Y _n cuya suma tiene la misma distribución que Y.

La distribución binomial negativa NB( r , p ) puede representarse como una distribución de Poisson compuesta : Sea${\textstyle (Y_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }}$denota una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , cada una con la distribución de serie logarítmica Log( p ) , con función de masa de probabilidad

$${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {-p^{k}}{k\ln(1-p)}},\qquad k\in {\mathbb {N} }.}$$

Sea N una variable aleatoria, independiente de la secuencia, y supongamos que N tiene una distribución de Poisson con media λ = − r ln(1 − p ) . Entonces la suma aleatoria

$${\displaystyle X=\sum _{n=1}^{N}Y_{n}}$$

es NB( r , p ) -distribuida. Para probar esto, calculamos la función generadora de probabilidad G _X de X , que es la composición de las funciones generadoras de probabilidad G _N y G _{Y 1} . Usando

$${\displaystyle G_{N}(z)=\exp(\lambda (z-1)),\qquad z\in \mathbb {R} ,}$$

y

$${\displaystyle G_{Y_{1}}(z)={\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},}$$

obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X}(z)&=G_{N}(G_{Y_{1}}(z))\\[4pt]&=\exp \left[\lambda \left({\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}-1\right)\right]\\[1ex]&=\exp \left[-r\left(\ln(1-pz)-\ln(1-p)\right)\right]\\[1ex]&=\left({\frac {1-p}{1-pz}}\right)^{r},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},\end{aligned}}}$$

que es la función generadora de probabilidad de la distribución NB( r , p ) . Esta última expresión se puede escribir como${\displaystyle C(1-pz)^{-r}}$para una constante C. El nombre "distribución binomial negativa" se refleja en esta distribución binomial .${\displaystyle (1-pz)}$con un término negativo elevado a una potencia negativa${\displaystyle -r}$.​

La siguiente tabla describe cuatro distribuciones relacionadas con el número de éxitos en una secuencia de extracciones:

La distribución binomial negativa, junto con las distribuciones de Poisson y binomial, pertenece a la clase de distribuciones ( a , b , 0) . Estas tres distribuciones son casos especiales de la distribución de Panjer . También pertenecen a una familia exponencial natural .

Sean k y r enteros, con k no negativo y r positivo. En una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p , la distribución binomial negativa proporciona la probabilidad de k éxitos y r fracasos, con un fracaso en el último ensayo. Por lo tanto, la distribución binomial negativa representa la distribución de probabilidad del número de éxitos antes del r -ésimo fracaso en un proceso de Bernoulli , con probabilidad p de éxito en cada ensayo.

Consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que lanzamos un dado repetidamente y consideramos que un 1 representa un fallo. La probabilidad de éxito en cada lanzamiento es de 5/6. El número de éxitos antes del tercer fallo pertenece al conjunto infinito {0, 1, 2, 3, ...} . Ese número de éxitos es una variable aleatoria con distribución binomial negativa.

Cuando r = 1 obtenemos la distribución de probabilidad del número de éxitos antes del primer fallo (es decir, la probabilidad de que el primer fallo ocurra en el ( k + 1) -º ensayo), que es una distribución geométrica : $${\displaystyle f(k;r,p)=(1-p)\cdot p^{k}}$$

La distribución binomial negativa, especialmente en su parametrización alternativa descrita anteriormente, puede utilizarse como alternativa a la distribución de Poisson. Es particularmente útil para datos discretos en un rango positivo no acotado cuya varianza muestral excede la media muestral . En tales casos, las observaciones presentan sobredispersión con respecto a una distribución de Poisson, para la cual la media es igual a la varianza. Por lo tanto, una distribución de Poisson no es un modelo apropiado. Dado que la distribución binomial negativa tiene un parámetro más que la de Poisson, el segundo parámetro puede utilizarse para ajustar la varianza independientemente de la media. Véase Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas .

Una aplicación de esto es a los recuentos anuales de ciclones tropicales en el Atlántico Norte o a los recuentos mensuales a semestrales de ciclones extratropicales invernales sobre Europa, para los cuales la varianza es mayor que la media. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} En el caso de una sobredispersión moderada, esto puede producir resultados sustancialmente similares a una distribución de Poisson sobredispersa. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

El modelado binomial negativo se emplea ampliamente en ecología e investigación de la biodiversidad para analizar datos de conteo donde la sobredispersión es muy común. Esto se debe a que la sobredispersión indica agregación biológica, como la formación de grupos de especies o comunidades. Ignorar la sobredispersión puede inflar significativamente los parámetros del modelo, lo que resulta en inferencias estadísticas erróneas. La distribución binomial negativa aborda eficazmente los conteos sobredispersos al permitir que la varianza varíe cuadráticamente con la media. Un parámetro de dispersión adicional rige la pendiente del término cuadrático, determinando la gravedad de la sobredispersión. La relación cuadrática media-varianza del modelo demuestra ser un enfoque realista para manejar la sobredispersión, como lo respalda la evidencia empírica de numerosos estudios. En general, el modelo NB ofrece dos características atractivas: (1) la interpretación conveniente del parámetro de dispersión como un índice de agrupamiento o agregación, y (2) su forma manejable, que presenta una expresión cerrada para la función de masa de probabilidad. ^{[ 28 ]}

En genética, la distribución binomial negativa se usa comúnmente para modelar datos en forma de recuentos de lecturas de secuencias discretas de experimentos de secuenciación de ARN y ADN de alto rendimiento. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

En epidemiología de enfermedades infecciosas, la distribución binomial negativa se ha utilizado como una mejor opción que la distribución de Poisson para modelar recuentos sobredispersos de infecciones secundarias a partir de un caso infectado (eventos de superpropagación). ^{[ 33 ]}

La distribución binomial negativa ha sido el modelo estadístico más efectivo para una amplia gama de observaciones de multiplicidad en experimentos de colisión de partículas , por ejemplo,${\displaystyle p{\bar {p}},\ hh,\ hA,\ AA,\ e^{+}e^{-}}$^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} (Véase ^{[ 39 ]} para una visión general), y se argumenta que es unainvariante de escalade la materia, ^{[ 40 ] [ 41 ]} proporcionando el mejor ajuste para las observaciones astronómicas, donde predice el número de galaxias en una región del espacio. ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]} La justificación fenomenológica de la efectividad de la distribución binomial negativa en estos contextos permaneció desconocida durante cincuenta años, desde su primera observación en 1973. ^{[ 46 ]} En 2023, Scott V. Tezlaf finalmente demostróuna prueba a partir deprimeros principiossimetríasen lasecuaciones dinámicasde unconjunto canónicode partículas enel espacio de Minkowski. ^{[ 47 ]} Aproximadamente, dado un número esperado de ensayos${\displaystyle \langle n\rangle }$y número esperado de éxitos${\displaystyle \langle r\rangle }$, dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {n}}\rangle -\langle r\rangle &=k,&\langle p\rangle &={\frac {\langle r\rangle }{\langle {\mathcal {n}}\rangle }}\\[1ex]\implies \langle {\mathcal {n}}\rangle &={\frac {k}{1-\langle p\rangle }},&\langle {r}\rangle &={\frac {k\langle p\rangle }{1-\langle p\rangle }},\end{aligned}}}$$

un conjunto isomorfo de ecuaciones puede identificarse con los parámetros de una densidad de corriente relativista de un conjunto canónico de partículas masivas, mediante

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\left\langle \rho ^{2}\right\rangle -\left\langle j^{2}\right\rangle &=c^{2}\rho _{0}^{2},&\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle &={\frac {\left\langle j^{2}\right\rangle }{c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle }}\\[1ex]\implies c^{2}\left\langle \rho ^{2}\right\rangle &={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}}{1-\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }},&\left\langle j^{2}\right\rangle &={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }{1-\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \rho _{0}}$es la densidad de reposo ,${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle }$es la densidad cuadrática media relativista,${\displaystyle \langle j^{2}\rangle }$es la densidad de corriente cuadrática media relativista, y${\displaystyle \langle \beta _{v}^{2}\rangle =\langle v^{2}\rangle /c^{2}}$, dónde${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$es la velocidad cuadrática media del conjunto de partículas y${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz —de tal manera que se puede establecer el siguiente mapa biyectivo :

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\rho _{0}^{2}&\mapsto k,&\langle \beta _{v}^{2}\rangle &\mapsto \langle p\rangle ,\\[1ex]c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle &\mapsto \langle {\mathcal {n}}\rangle ,&\langle j^{2}\rangle &\mapsto \langle r\rangle .\end{aligned}}}$$

También se ha demostrado una prueba alternativa rigurosa de la correspondencia anterior mediante la mecánica cuántica a través de la integral de trayectoria de Feynman . ^{[ 47 ]}