Función beta

En matemáticas , la función beta , también llamada integral de Euler de primera especie, es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma y con los coeficientes binomiales . Se define mediante la integral

$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}$$ para entradas de números complejos${\displaystyle z_{1},z_{2}}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{1}),\operatorname {Re} (z_{2})>0}$.

La función beta fue estudiada por Leonhard Euler y Adrien-Marie Legendre y recibió su nombre de Jacques Binet ; su símbolo Β es una beta mayúscula griega .

La función beta es simétrica , lo que significa que ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}$para todas las entradas${\displaystyle z_{1}}$y${\displaystyle z_{2}}$. ^{[ 1 ]}

Una propiedad clave de la función beta es su estrecha relación con la función gamma : ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$$

A continuación se presenta una demostración en el §  Relación con la función gamma .

La función beta también está estrechamente relacionada con los coeficientes binomiales . Cuando m (o n , por simetría) es un entero positivo, se deduce de la definición de la función gamma Γ que ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}$$

Para derivar esta relación, escribimos el producto de dos factoriales como integrales. Como son integrales en dos variables distintas, podemos combinarlas en una integral iterada :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-uv}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$$

Cambiando las variables por u = st y v = s (1 − t ) , como u + v = s y u / ( u + v ) = t , tenemos que los límites de integración para s son de 0 a ∞ y los límites de integración para t son de 0 a 1. Por lo tanto, se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\[1ex]&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}$$

Dividiendo ambos lados por${\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}$da el resultado deseado.

La identidad enunciada puede considerarse un caso particular de la identidad para la integral de una convolución . Tomando

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$$

uno tiene:

$${\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}$$

Consulte La función gamma , páginas 18-19 ^{[ 2 ]} para una derivación de esta relación.

Tenemos

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi {\left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)}\right),\quad 1\leq m\leq n,}$$

dónde${\displaystyle \psi (z)}$denota la función digamma .

La aproximación de Stirling proporciona la fórmula asintótica.

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$$

para valores grandes de x y valores grandes de y .

Si por otro lado x es grande e y es fijo, entonces

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$$

La integral que define la función beta puede reescribirse de diversas maneras, entre ellas las siguientes: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{para cualquier }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}$$

donde en la penúltima identidad n es cualquier número real positivo . Se puede pasar de la primera integral a la segunda sustituyendo${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$.

Para valores${\displaystyle z=z_{1}=z_{2}\neq 1}$tenemos:

$${\displaystyle \mathrm {B} (z,z)={\frac {1}{z}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt[{z}]{\sin \theta }}+{\sqrt[{z}]{\cos \theta }}\right)^{2z}}}\,d\theta }$$

La función beta se puede escribir como una suma infinita ^{[ 3 ].}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}$$ Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son iguales a un número${\displaystyle z}$obtenemos: $${\displaystyle \mathrm {B} (z,z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2z+n-1)_{n}(-1)^{n}}{(z+n)n!}}=\lim _{x\to 1^{-}}2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2z)_{n}x^{n}}{(z+n)n!}}}$$ dónde${\displaystyle (x)_{n}}$es el factorial creciente , y como un producto infinito$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$$

La función beta satisface varias identidades análogas a las identidades correspondientes para los coeficientes binomiales, incluyendo una versión de la identidad de Pascal.

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y),}$$

lo cual puede demostrarse de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)&={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y+1)}{\Gamma (x+y+1)}}+{\frac {\Gamma (x+1)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y+1)}}\\&={\frac {y\Gamma (x)\Gamma (y)+x\Gamma (x)\Gamma (y)}{(x+y)\Gamma (x+y)}}\\&={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\\&=\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$$

La demostración anterior también muestra la recurrencia simple en una coordenada ^{[ 4 ].}

$${\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}$$

Los valores enteros positivos de la función beta son también las derivadas parciales de una función 2D: para todos los enteros no negativos${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$, $${\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}$$ dónde $${\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}$$ La identidad tipo Pascal mencionada anteriormente implica que esta función es una solución a la ecuación diferencial parcial de primer orden.$${\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}$$

Para${\displaystyle x,y\geq 1}$La función beta puede escribirse en términos de una convolución que involucra la función de potencia truncada.${\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}$: $${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}$$

Las evaluaciones en puntos específicos pueden simplificarse significativamente; por ejemplo, $${\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}$$ y ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }$$

Tomando${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$En esta última fórmula, se deduce que${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$Generalizando esto a una identidad bivariada para un producto de funciones beta se obtiene: $${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}$$

Además, usando la fórmula de duplicación de Legendre , obtenemos $${\displaystyle 2^{z-1}\mathrm {B} (z/2,z/2)=\mathrm {B} (1/2,z/2).}$$

La integral de Euler para la función beta se puede convertir en una integral sobre el contorno de Pochhammer C como

$${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$$

Esta integral de contorno de Pochhammer converge para todos los valores de α y β y, por lo tanto, proporciona la continuación analítica de la función beta.

Así como la función gamma para números enteros describe factoriales , la función beta puede definir un coeficiente binomial después de ajustar los índices: $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,\,k+1)}}.}$$

Además, para un entero n , B puede factorizarse para dar una función de interpolación en forma cerrada para valores continuos de k : $${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$$

La función beta recíproca es la función sobre la forma

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$$

Curiosamente, sus representaciones integrales se relacionan estrechamente como la integral definida de funciones trigonométricas con el producto de su potencia y ángulo múltiple : ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\end{aligned}}}$$

La función beta incompleta , una generalización de la función beta, se define como ^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$$

Para x = 1 , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. Para enteros positivos a y b , la función beta incompleta será un polinomio de grado a + b − 1 con coeficientes racionales.

Mediante la sustitución${\displaystyle t=\sin ^{2}\theta }$y${\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}}$, podemos demostrar que $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x;\,a,b)&=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,d\theta \\[1ex]&=\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{b-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,ds\end{aligned}}}$$

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) se define en términos de la función beta incompleta y la función beta completa:

$${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$$

La función beta incompleta regularizada es la función de distribución acumulativa de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulativa.${\displaystyle F(k;\,n,p)}$de una variable aleatoria X que sigue una distribución binomial con probabilidad de éxito único p y número de ensayos de Bernoulli n :

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;\,n,p)&=\Pr \left(X\leq k\right)\\[1ex]&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\[1ex]&=1-I_{p}(k+1,n-k).\end{aligned}}}$$

La función beta puede extenderse a una función con más de dos argumentos:

$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$$

Esta función beta multivariada se utiliza en la definición de la distribución de Dirichlet . Su relación con la función beta es análoga a la relación entre los coeficientes multinomiales y los coeficientes binomiales. Por ejemplo, satisface una versión similar de la identidad de Pascal:

$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}$$

La función beta es útil para calcular y representar la amplitud de dispersión de las trayectorias de Regge . Además, fue la primera amplitud de dispersión conocida en la teoría de cuerdas , conjeturada por primera vez por Gabriele Veneziano . También aparece en la teoría del proceso de conexión preferencial , un tipo de proceso de urna estocástico . La función beta también es importante en estadística, por ejemplo, para la distribución beta y la distribución beta prima . Como se mencionó brevemente antes, la función beta está estrechamente relacionada con la función gamma y desempeña un papel importante en el cálculo .

Aunque no estén disponibles directamente, los valores completos e incompletos de la función beta se pueden calcular utilizando funciones que se incluyen habitualmente en las hojas de cálculo o en los sistemas de álgebra computacional .

En Microsoft Excel , por ejemplo, la función beta completa se puede calcular con la GammaLnfunción (o special.gammalnen el paquete SciPy de Python ):

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Este resultado se deriva de las propiedades enumeradas anteriormente .

La función beta incompleta no se puede calcular directamente utilizando dichas relaciones, por lo que deben emplearse otros métodos. En GNU Octave , se calcula mediante una expansión en fracción continua .

La función beta incompleta tiene implementaciones existentes en lenguajes comunes. Por ejemplo, betainc(función beta incompleta) en MATLAB y GNU Octave , pbeta(probabilidad de distribución beta) en R y betaincen SymPy . En SciPy , special.betainccalcula la función beta incompleta regularizada , que es, de hecho, la distribución beta acumulativa. Para obtener la función beta incompleta real, se puede multiplicar el resultado de special.betaincpor el resultado devuelto por la betafunción correspondiente. En Mathematica , Beta[x, a, b]y BetaRegularized[x, a, b]dan${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$y${\displaystyle I_{x}(a,b)}$, respectivamente.

• Distribución beta y distribución beta prima , dos distribuciones de probabilidad relacionadas con la función beta.
• Suma de Jacobi , el análogo de la función beta sobre cuerpos finitos .
• Integral de Nørlund-Rice
• Distribución Yule-Simon

• Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Función beta" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.1 Función gamma, función beta, factoriales" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8Archivado del original el 27/10/2021 , consultado el 09/08/2011.

• "Función beta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluación de la función beta mediante la transformada de Laplace en PlanetMath .
• Se pueden obtener valores arbitrariamente precisos a partir de:
  • El sitio de funciones de Wolfram : Evaluar beta regularizada beta incompleta
  • danielsoper.com: Calculadora de función beta incompleta , Calculadora de función beta incompleta regularizada