Problema de urna

En probabilidad y estadística , el problema de la urna es un ejercicio mental idealizado en el que algunos objetos de interés real (como átomos, personas, coches, etc.) se representan como bolas de colores en una urna u otro recipiente. Se simula extraer una o más bolas de la urna; el objetivo es determinar la probabilidad de obtener un color u otro, o alguna otra propiedad. A continuación se describen varias variantes importantes.

Un modelo de urna es un conjunto de probabilidades que describen eventos dentro de un problema de urna, o bien es una distribución de probabilidad , o una familia de dichas distribuciones, de variables aleatorias asociadas con problemas de urna. ^{[ 1 ]}

En Ars Conjectandi (1713), Jacob Bernoulli consideró el problema de determinar, dado un número de guijarros extraídos de una urna, las proporciones de guijarros de diferentes colores dentro de la urna. Este problema se conocía como el problema de la probabilidad inversa y fue objeto de investigación en el siglo XVIII, atrayendo la atención de Abraham de Moivre y Thomas Bayes .

Bernoulli empleó la palabra latina urna , que significa principalmente vasija de arcilla, pero también es el término utilizado en la antigua Roma para cualquier tipo de recipiente destinado a recoger votos o sorteos; la palabra actual en italiano o español para urna sigue siendo urna . La inspiración de Bernoulli pudo haber sido loterías , elecciones o juegos de azar que implicaban sacar bolas de un recipiente, y se ha afirmado que las elecciones en la Venecia medieval y renacentista , incluyendo la del dux , a menudo incluían la elección de electores por sorteo , utilizando bolas de diferentes colores extraídas de una urna. ^{[ 2 ]}

En este modelo básico de urna en teoría de la probabilidad , la urna contiene x bolas blancas e y bolas negras, bien mezcladas. Se extrae una bola al azar de la urna y se observa su color; luego se vuelve a colocar en la urna (o no), y el proceso de selección se repite. ^{[ 3 ]}

Las posibles preguntas que se pueden responder en este modelo son:

• ¿Puedo inferir la proporción de bolas blancas y negras a partir de n observaciones? ¿Con qué grado de confianza?
• Sabiendo x e y , ¿cuál es la probabilidad de sacar una secuencia específica (por ejemplo, una blanca seguida de una negra)?
• Si solo observo n bolas, ¿qué tan seguro puedo estar de que no hay bolas negras? (Una variación tanto de la primera como de la segunda pregunta).

• Distribución binomial : la distribución del número de extracciones exitosas (ensayos), es decir, extracción de bolas blancas, dado n extracciones con reemplazo en una urna con bolas blancas y negras. ^{[ 3 ]}
• Distribución multinomial : hay bolas de más de dos colores. Cada vez que se extrae una bola, se devuelve antes de extraer otra. ^{[ 3 ]} Esto también se conoce como " Bolas en contenedores ".
• Problema de ocupación : la distribución del número de urnas ocupadas después de la asignación aleatoria de k bolas en n urnas, relacionado con el problema del coleccionista de cupones y el problema del cumpleaños .
• Distribución binomial negativa : número de extracciones antes de que se produzca un cierto número de fallos (extracciones con colores incorrectos).
• Distribución geométrica : número de extracciones antes de la primera extracción exitosa (coloreada correctamente). ^{[ 3 ]}
• Distribución hipergeométrica : una vez extraídas, las bolas no se devuelven a la urna. Por lo tanto, el número total de canicas en la urna disminuye. Esto se conoce como "extracción sin reposición", en contraposición a la "extracción con reposición".
• distribución hipergeométrica multivariada : las bolas no se devuelven a la urna una vez extraídas, sino con bolas de más de dos colores. ^{[ 3 ]}
• Sustitución/no sustitución mixta: la urna contiene x bolas blancas e y bolas negras. Mientras que las bolas negras se apartan después de una extracción (no sustitución), las bolas blancas se devuelven a la urna después de una extracción (sustitución). La probabilidad P(m,k) de que se extraigan k bolas negras después de m extracciones se puede calcular recursivamente utilizando la fórmula${\displaystyle P(m,k)={\frac {y+1-k}{x+y+1-k}}P(m-1,k-1)+{\frac {x}{x+yk}}P(m-1,k)}$. ^{[ 4 ]}
• Distribución beta-binomial de la urna de Pólya : cada vez que se extrae una bola, se reemplaza junto con otra bola del mismo color. Por lo tanto, el número total de bolas en la urna aumenta.
• Urna Hoppe : una urna Pólya con una bola adicional llamada mutador . Cuando se extrae el mutador, se reemplaza junto con una bola adicional de un color completamente nuevo.
• Física estadística : derivación de las distribuciones de energía y velocidad.
• La paradoja de Ellsberg .

• Las pelotas entran en los contenedores.
• Problemas de lanzamiento de moneda
• El problema del coleccionista de cupones
• Distribución multinomial de Dirichlet
• Distribuciones hipergeométricas no centrales
• Modelo de urna de Pólya

• Johnson, Norman L.; y Kotz, Samuel (1977); Modelos de urnas y su aplicación: Un enfoque a la teoría moderna de la probabilidad discreta , Wiley ISBN 0-471-44630-0
• Mahmoud, Hosam M. (2008); Modelos de urnas Pólya , Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-4200-5983-1