Probabilidad inversa

En teoría de la probabilidad , la probabilidad inversa es un término antiguo para la distribución de probabilidad de una variable no observada.

Actualmente, el problema de determinar una variable no observada (por cualquier método) se denomina estadística inferencial . El método de probabilidad inversa (asignar una distribución de probabilidad a una variable no observada) se llama probabilidad bayesiana ; la distribución de los datos dada la variable no observada es la función de verosimilitud (que por sí sola no proporciona una distribución de probabilidad para el parámetro), y la distribución de una variable no observada, dados tanto los datos como una distribución a priori , es la distribución a posteriori . El desarrollo del campo y la terminología desde "probabilidad inversa" hasta "probabilidad bayesiana" se describe en Fienberg (2006) .

El término "probabilidad inversa" aparece en un artículo de De Morgan de 1837 , en referencia al método de probabilidad de Laplace (desarrollado en un artículo de 1774, que descubrió y popularizó independientemente los métodos bayesianos, y en un libro de 1812), aunque el término "probabilidad inversa" no aparece en estos. ^{[ 1 ]} Fisher utiliza el término en Fisher (1922) , refiriéndose a "la paradoja fundamental de la probabilidad inversa" como la fuente de la confusión entre los términos estadísticos que se refieren al valor verdadero que se va a estimar, con el valor real obtenido por el método de estimación, que está sujeto a error. Más tarde Jeffreys utiliza el término en su defensa de los métodos de Bayes y Laplace, en Jeffreys (1939) . El término «bayesiano», que desplazó a «probabilidad inversa», fue introducido por Ronald Fisher en 1950. ^{[ 2 ]} La probabilidad inversa, interpretada de diversas maneras, fue el enfoque dominante en estadística hasta el desarrollo del frecuentismo a principios del siglo XX por Ronald Fisher , Jerzy Neyman y Egon Pearson . ^{[ 3 ]} Tras el desarrollo del frecuentismo, los términos frecuentista y bayesiano surgieron para contrastar estos enfoques y se popularizaron en la década de 1950.

En términos modernos, dada una distribución de probabilidad p ( x |θ) para una cantidad observable x condicionada a una variable no observada θ, la "probabilidad inversa" es la distribución posterior p (θ| x ), que depende tanto de la función de verosimilitud (la inversión de la distribución de probabilidad) como de una distribución previa. La distribución p ( x |θ) en sí misma se denomina probabilidad directa .

El problema de la probabilidad inversa (en los siglos XVIII y XIX) consistía en estimar un parámetro a partir de datos experimentales en las ciencias experimentales, especialmente en astronomía y biología . Un ejemplo sencillo sería estimar la posición de una estrella en el cielo (en un momento y fecha determinados) para fines de navegación . Dados los datos, se debe estimar la posición real (probablemente mediante un promedio). Este problema se consideraría hoy en día un problema de estadística inferencial .

Los términos "probabilidad directa" y "probabilidad inversa" se utilizaron hasta mediados del siglo XX, cuando se generalizaron los términos " función de verosimilitud " y "distribución posterior".

• Probabilidad bayesiana
• Teorema de Bayes