Distribuciones hipergeométricas no centrales

En estadística , la distribución hipergeométrica es la distribución de probabilidad discreta que se genera al extraer bolas de colores al azar de una urna sin reemplazo.

Existen diversas generalizaciones de esta distribución para los casos en que la selección de bolas de colores está sesgada , de modo que es más probable que se seleccionen bolas de un color que bolas de otro color.

Esto se puede ilustrar con el siguiente ejemplo. Supongamos que se realiza una encuesta de opinión llamando a números de teléfono aleatorios. Es más probable que las personas desempleadas estén en casa y contesten el teléfono que las personas empleadas. Por lo tanto, es probable que los encuestados desempleados estén sobrerrepresentados en la muestra . La distribución de probabilidad de los encuestados empleados frente a los desempleados en una muestra de n encuestados se puede describir como una distribución hipergeométrica no central.

La descripción de los modelos de urnas sesgadas se complica por la existencia de más de una distribución hipergeométrica no central. La distribución obtenida depende de si los elementos (por ejemplo, bolas de colores) se muestrean individualmente, generando competencia entre ellos, o si se muestrean de forma independiente. El término distribución hipergeométrica no central se ha utilizado para ambos casos. El uso del mismo nombre para dos distribuciones diferentes se debe a que fueron estudiadas por dos grupos de científicos distintos, con escaso contacto entre sí.

Agner Fog (2007, 2008) sugirió que la mejor manera de evitar confusiones es usar el nombre de distribución hipergeométrica no central de Wallenius para la distribución de un modelo de urna sesgada en el que se extrae un número predeterminado de elementos uno por uno de manera competitiva, y usar el nombre de distribución hipergeométrica no central de Fisher para aquella en la que los elementos se extraen independientemente unos de otros, de modo que el número total de elementos extraídos se conoce solo después del experimento. Los nombres hacen referencia a Kenneth Ted Wallenius y R. A. Fisher , quienes fueron los primeros en describir las respectivas distribuciones.

La distribución hipergeométrica no central de Fisher había recibido anteriormente el nombre de distribución hipergeométrica extendida , pero este nombre rara vez se utiliza en la literatura científica, excepto en manuales que necesitan distinguir entre las dos distribuciones.

La distribución de Wallenius se puede explicar de la siguiente manera. Supongamos que una urna contiene${\displaystyle m_{1}}$bolas rojas y${\displaystyle m_{2}}$bolas blancas, totalizando${\displaystyle N=m_{1}+m_{2}}$bolas.${\displaystyle n}$Las bolas se extraen al azar de la urna una por una sin reemplazo. Cada bola roja tiene el peso${\displaystyle \omega _{1}}$y cada bola blanca tiene el peso${\displaystyle \omega _{2}}$Suponemos que la probabilidad de sacar una pelota determinada es proporcional a su peso. La propiedad física que determina las probabilidades puede ser distinta del peso, como el tamaño, la resbaladiza u otro factor, pero resulta conveniente utilizar el término peso para referirnos al parámetro de probabilidades.

La probabilidad de que la primera bola extraída sea roja es igual a la fracción de peso de las bolas rojas:

${\displaystyle p_{1}={\frac {m_{1}\omega _{1}}{m_{1}\omega _{1}+m_{2}\omega _{2}}}.}$

La probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja depende de si la primera bola fue roja o blanca. Si la primera bola fue roja, entonces se utiliza la fórmula anterior con${\displaystyle m_{1}}$reducido en uno. Si la primera bola fue blanca, entonces se utiliza la fórmula anterior con${\displaystyle m_{2}}$reducido en uno.

Lo que distingue la distribución de Wallenius es la competencia entre las bolas. La probabilidad de que una bola en particular sea extraída en un sorteo determinado depende no solo de su propio peso, sino también del peso total de las bolas competidoras que permanecen en la urna en ese momento. Y el peso de las bolas competidoras depende de los resultados de todos los sorteos anteriores.

Se utiliza una versión multivariada de la distribución de Wallenius si hay más de dos colores diferentes.

La distribución de las bolas que no se extraen es una distribución hipergeométrica no central de Wallenius complementaria .

En el modelo de Fisher, el destino de las bolas es independiente y no existe dependencia entre los sorteos. Se pueden extraer las n bolas simultáneamente. Cada bola desconoce lo que sucede con las demás. Por la misma razón, es imposible conocer el valor de n antes del experimento. Si intentáramos fijar el valor de n , no podríamos evitar que se extrajera la bola número n + 1 sin violar el principio de independencia entre las bolas. Por lo tanto, n es una variable aleatoria, y la distribución de Fisher es una distribución condicional que solo puede determinarse después del experimento, una vez observado n . La distribución incondicional consta de dos binomios independientes , uno para cada color.

La distribución de Fisher se define simplemente como la distribución condicional de dos o más variables binomiales independientes que dependen de su suma. Se utiliza una versión multivariada de la distribución de Fisher si hay más de dos colores de bolas.

Las distribuciones de Wallenius y Fisher son aproximadamente iguales cuando la razón de probabilidades${\displaystyle \omega =\omega _{1}/\omega _{2}}$está cerca de 1, y n es bajo en comparación con el número total de bolas, N. La diferencia entre las dos distribuciones aumenta cuando la razón de probabilidades está lejos de uno y n está cerca de N. Las dos distribuciones se aproximan mejor cuando tienen la misma media que cuando tienen las mismas probabilidades (ω = 1) (ver figuras anteriores).

Ambas distribuciones degeneran en la distribución hipergeométrica cuando la razón de probabilidades es 1, o en la distribución binomial cuando n = 1.

Para entender por qué las dos distribuciones son diferentes, podemos considerar el siguiente ejemplo extremo: Una urna contiene una bola roja con un peso de 1000 y mil bolas blancas, cada una con un peso de 1. Queremos calcular la probabilidad de que la bola roja no sea extraída.

Primero , consideremos el modelo de Wallenius. La probabilidad de que la bola roja no se extraiga en el primer sorteo es 1000/2000 = 1/2 . La probabilidad de que la bola roja no se extraiga en el segundo sorteo, bajo la condición de que no se extrajera en el primero, es 999/1999 ≈ 1/2 . La probabilidad de que la bola roja no se extraiga en el tercer sorteo, bajo la condición de que no se extrajera en los dos primeros sorteos, es 998/1998 ≈ 1/2 . Siguiendo este procedimiento, podemos calcular que la probabilidad de no extraer la bola roja en n sorteos es aproximadamente 2 ^{− n} siempre que n sea pequeño en comparación con N. En otras palabras, la probabilidad de no extraer una bola muy pesada en n sorteos disminuye casi exponencialmente con n en el modelo de Wallenius. La función exponencial surge porque las probabilidades de cada extracción se multiplican entre sí.

This is not the case in Fisher's model, where balls are taken independently, and possibly simultaneously. Here the draws are independent and the probabilities are therefore not multiplied together. The probability of not taking the heavy red ball in Fisher's model is approximately 1/(n + 1). The two distributions are therefore very different in this extreme case, even though they are quite similar in less extreme cases.

The following conditions must be fulfilled for Wallenius' distribution to be applicable:

• Items are taken randomly from a finite source containing different kinds of items without replacement.
• Items are drawn one by one.
• The probability of taking a particular item at a particular draw is equal to its fraction of the total "weight" of all items that have not yet been taken at that moment. The weight of an item depends only on its kind (e.g., color).
• The total number n of items to take is fixed and independent of which items happen to be taken first.

The following conditions must be fulfilled for Fisher's distribution to be applicable:

• Items are taken randomly from a finite source containing different kinds of items without replacement.
• Items are taken independently of each other. Whether one item is taken is independent of whether another item is taken. Whether one item is taken before, after, or simultaneously with another item is irrelevant.
• The probability of taking a particular item is proportional to its "weight". The weight of an item depends only on its kind (e.g., color).
• The total number n of items that will be taken is not known before the experiment.
• n is determined after the experiment and the conditional distribution for n known is desired.

The following examples illustrate which distribution applies in different situations.

Conclusión de los ejemplos

Estos ejemplos demuestran que la distribución de los tipos de peces capturados depende de la forma en que se capturan. En muchas situaciones, la distribución resultante se sitúa entre las distribuciones hipergeométricas no centrales de Wallenius y Fisher.

Una consecuencia de la diferencia entre estas dos distribuciones es que, en promedio, se capturan más peces grandes al pescar n peces uno por uno que al pescarlos todos a la vez. En general, podemos decir que, en el muestreo sesgado, el parámetro de probabilidades tiene un efecto más fuerte en la distribución de Wallenius que en la de Fisher, especialmente cuando n / N es alto.

• Distribución hipergeométrica no central de Wallenius
• Distribución hipergeométrica no central de Fisher
• Distribución hipergeométrica
• Problema de urna
• Inclinación
• Muestra sesgada

Johnson, NL; Kemp, AW ; Kotz, S. (2005), Distribuciones discretas univariadas , Hoboken, Nueva Jersey: Wiley and Sons.

McCullagh, P.; Nelder, JA (1983), Modelos lineales generalizados , Londres: Chapman and Hall.

Fog, Agner (2007), Teoría de números aleatorios.

Fog, Agner (2008), "Métodos de cálculo para la distribución hipergeométrica no central de Wallenius", Communications in Statistics - Simulation and Computation , vol.  37, n.º  2, pp. 258–273 , doi : 10.1080/03610910701790269 , S2CID 9040568  .