Ars Conjectandi

Ars Conjectandi (en latín, «El arte de conjeturar») es un libro sobrecombinatoriayprobabilidadescrito porJacob Bernoulliy publicado en 1713, ocho años después de su muerte, por su sobrino,Niklaus Bernoulli. La obra seminal consolidó, además de muchos temas combinatorios, muchas ideas centrales enla teoría de la probabilidad, como la primera versión de laley de los grandes números: de hecho, se la considera ampliamente como la obra fundadora de esa materia. También abordó problemas que hoy se clasifican de lamanera dodecagonaly se agregaron a las materias; en consecuencia, ha sido calificado como un hito histórico importante no solo en probabilidad sino en toda la combinatoria por una plétora de historiadores matemáticos. La importancia de este trabajo temprano tuvo un gran impacto tanto en los matemáticos contemporáneos como en los posteriores; por ejemplo,Abraham de Moivre.

Bernoulli escribió el texto entre 1684 y 1689, incluyendo el trabajo de matemáticos como Christiaan Huygens , Gerolamo Cardano , Pierre de Fermat y Blaise Pascal . Incorporó temas combinatorios fundamentales como su teoría de permutaciones y combinaciones (los problemas antes mencionados de la vía duodecimal) así como aquellos más distantemente conectados con el floreciente tema: la derivación y propiedades de los números de Bernoulli epónimos , por ejemplo. Los temas centrales de la probabilidad, como el valor esperado , también fueron una parte significativa de este importante trabajo.

En Europa, el tema de la probabilidad se desarrolló formalmente por primera vez en el siglo XVI con el trabajo de Gerolamo Cardano , cuyo interés en la rama de las matemáticas se debió en gran medida a su hábito de jugar. ^[1] Formalizó lo que ahora se llama la definición clásica de probabilidad: si un evento tiene a resultados posibles y seleccionamos cualquier b de ellos tales que b  ≤  a , la probabilidad de que ocurra cualquiera de los b es . Sin embargo, su influencia real en la escena matemática no fue grande; escribió solo un tomo ligero sobre el tema en 1525 titulado Liber de ludo aleae (Libro sobre juegos de azar), que se publicó póstumamente en 1663. ^{[2] [3]}${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {b}{a}}\end{smallmatrix}}}$

La fecha que los historiadores citan como el comienzo del desarrollo de la teoría de la probabilidad moderna es 1654, cuando dos de los matemáticos más conocidos de la época, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, comenzaron una correspondencia discutiendo el tema. Los dos iniciaron la comunicación porque a principios de ese año, un jugador de París llamado Antoine Gombaud había enviado a Pascal y a otros matemáticos varias preguntas sobre las aplicaciones prácticas de algunas de estas teorías; en particular, planteó el problema de los puntos , relativo a un juego teórico de dos jugadores en el que se debe dividir un premio entre los jugadores debido a circunstancias externas que detienen el juego. Los frutos de la correspondencia de Pascal y Fermat interesaron a otros matemáticos, incluido Christiaan Huygens , cuyo De ratiociniis in aleae ludo (Cálculos en juegos de azar) apareció en 1657 como el capítulo final de las Exercitationes Matematicae de Van Schooten . ^[2] En 1665, Pascal publicó póstumamente sus resultados sobre el triángulo de Pascal , un importante concepto combinatorio. En su obra Traité du triangle arithmétique (Trastornos del triángulo aritmético), se refirió al triángulo como el "triángulo aritmético". ^[4]

En 1662 se publicó anónimamente en París el libro La Logique ou l'Art de Penser ^{. [5]} Los autores presumiblemente fueron Antoine Arnauld y Pierre Nicole , dos destacados jansenistas que trabajaron junto con Blaise Pascal. El título en latín de este libro es Ars cogitandi , que fue un exitoso libro sobre lógica en su época. El Ars cogitandi consta de cuatro libros, y el cuarto trata sobre la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre considerando la analogía con el juego e introduciendo explícitamente el concepto de probabilidad cuantificada. ^{[6] [7]}

En el campo de la estadística y la probabilidad aplicada, John Graunt publicó Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality también en 1662, iniciando la disciplina de la demografía . Este trabajo, entre otras cosas, proporcionó una estimación estadística de la población de Londres, produjo la primera tabla de mortalidad, dio probabilidades de supervivencia de diferentes grupos de edad, examinó las diferentes causas de muerte, notando que la tasa anual de suicidio y accidente es constante, y comentó sobre el nivel y la estabilidad de la proporción de sexos. ^[8] La utilidad e interpretación de las tablas de Graunt fueron discutidas en una serie de correspondencias de los hermanos Ludwig y Christiaan Huygens en 1667, donde se dieron cuenta de la diferencia entre las estimaciones media y mediana y Christian incluso interpoló la tabla de mortalidad de Graunt por una curva suave, creando la primera distribución de probabilidad continua; pero sus correspondencias no fueron publicadas. Más tarde, Johan de Witt , el entonces primer ministro de la República Holandesa, publicó material similar en su obra de 1671 Waerdye van Lyf-Renten (Un tratado sobre rentas vitalicias), que utilizó conceptos estadísticos para determinar la esperanza de vida con fines políticos prácticos; una demostración del hecho de que esta rama incipiente de las matemáticas tenía importantes aplicaciones pragmáticas. ^[9] El trabajo de De Witt no se distribuyó ampliamente más allá de la República Holandesa, tal vez debido a su caída del poder y ejecución por la turba en 1672. Aparte de las contribuciones prácticas de estos dos trabajos, también expusieron una idea fundamental de que la probabilidad se puede asignar a eventos que no tienen simetría física inherente, como las probabilidades de morir a cierta edad, a diferencia de, por ejemplo, tirar un dado o lanzar una moneda, simplemente contando la frecuencia de ocurrencia. Por lo tanto, la probabilidad podría ser más que mera combinatoria. ^[7]

Siguiendo la estela de todos estos pioneros, Bernoulli produjo muchos de los resultados contenidos en Ars Conjectandi entre 1684 y 1689, que registró en su diario Meditationes . ^{[1] [10]} Cuando comenzó a trabajar en 1684 a la edad de 30 años, aunque intrigado por los problemas combinatorios y probabilísticos, Bernoulli aún no había leído el trabajo de Pascal sobre el "triángulo aritmético" ni el trabajo de de Witt sobre las aplicaciones de la teoría de la probabilidad: anteriormente había solicitado una copia de este último a su conocido Gottfried Leibniz , pero Leibniz no se lo proporcionó. Este último, sin embargo, logró proporcionar el trabajo de Pascal y Huygens, y por lo tanto es en gran parte sobre estas bases que se construye Ars Conjectandi . ^[11] Además de estas obras, Bernoulli ciertamente poseía o al menos conocía el contenido de fuentes secundarias de La Logique ou l'Art de Penser así como de Bills of Mortality de Graunt , ya que hace referencia explícita a estas dos obras.

El progreso de Bernoulli a lo largo del tiempo puede seguirse a través de las Meditationes . En lo que respecta a su "descubrimiento", se pueden distinguir tres períodos de trabajo según los objetivos y el tiempo. El primer período, que va de 1684 a 1685, está dedicado al estudio de los problemas relacionados con los juegos de azar planteados por Christiaan Huygens; durante el segundo período (1685-1686) las investigaciones se amplían para abarcar procesos en los que las probabilidades no se conocen a priori, sino que deben determinarse a posteriori. Finalmente, en el último período (1687-1689), se resuelve el problema de la medición de las probabilidades. ^[6]

Antes de la publicación de su Ars Conjectandi , Bernoulli había producido una serie de tratados relacionados con la probabilidad: ^[12]

• Parallelismus ratiocinii logici et algebraici , Basilea, 1685.
• En el Journal des Sçavans 1685 (26.VIII), p. 314 aparecen dos problemas relativos a la probabilidad que puede tener cada uno de dos jugadores de ganar en un juego de dados. Las soluciones fueron publicadas en el Acta Eruditorum 1690 (mayo), pp. 219-223 en el artículo Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione Problematis de Sorte Alearum . Además, el propio Leibniz publicó una solución en la misma revista en las páginas 387-390.
• Tesis lógicas de conversión y oposición de enunciación , conferencia pública pronunciada en Basilea el 12 de febrero de 1686. Las tesis XXXI a XL están relacionadas con la teoría de la probabilidad.
• De Arte Combinatoria Oratio Inauguralis , 1692.
• La Carta a un amigo sobre las partidas del juego de tenis, publicada con el Ars Conjectandi en 1713.

Entre 1703 y 1705, Leibniz se carteó con Jakob después de enterarse de sus descubrimientos en probabilidad por su hermano Johann . ^[13] Leibniz logró proporcionar críticas reflexivas sobre la ley de los grandes números de Bernoulli, pero no logró proporcionarle a Bernoulli el trabajo de De Witt sobre las anualidades que tanto deseaba. ^[13] Desde el principio, Bernoulli deseó que su trabajo demostrara que la combinatoria y la teoría de la probabilidad tendrían numerosas aplicaciones en el mundo real en todas las facetas de la sociedad (en la línea del trabajo de Graunt y De Witt) y servirían como un método riguroso de razonamiento lógico bajo evidencia insuficiente, como se usa en los tribunales y en los juicios morales. También se esperaba que la teoría de la probabilidad pudiera proporcionar un método de razonamiento integral y consistente, donde el razonamiento ordinario podría verse abrumado por la complejidad de la situación. ^[13] Por ello se eligió el título Ars Conjectandi : un vínculo con el concepto de ars inveniendi de la escolástica , que proporcionaba el vínculo simbólico con el pragmatismo deseado y también como una extensión del Ars Cogitandi anterior . ^[6]

En palabras del propio Bernoulli, el "arte de la conjetura" se define en el Capítulo II de la Parte IV de su Ars Conjectandi como:

El arte de medir, con la mayor precisión posible, las probabilidades de las cosas, con el fin de que siempre seamos capaces de elegir o seguir en nuestros juicios y acciones aquel curso que se haya determinado como mejor, más satisfactorio, más seguro o más ventajoso.

El desarrollo del libro se vio interrumpido por la muerte de Bernoulli en 1705, por lo que el libro está esencialmente incompleto en comparación con la visión original de Bernoulli. La disputa con su hermano menor Johann, que era la persona más competente que podría haber llevado a cabo el proyecto de Jacob, impidió que Johann consiguiera el manuscrito. Los propios hijos de Jacob no eran matemáticos y no estaban a la altura de la tarea de editar y publicar el manuscrito. Finalmente, el sobrino de Jacob, Niklaus, siete años después de la muerte de Jacob en 1705, logró publicar el manuscrito en 1713. ^{[14] [15]}

La obra de Bernoulli, publicada originalmente en latín ^[16], se divide en cuatro partes. ^[11] Abarca, sobre todo, su teoría de permutaciones y combinaciones; los fundamentos estándar de la combinatoria actual y subconjuntos de los problemas fundamentales conocidos hoy como el camino de doce pasos . También analiza la motivación y las aplicaciones de una secuencia de números más estrechamente relacionada con la teoría de números que con la probabilidad; estos números de Bernoulli llevan su nombre en la actualidad y son uno de sus logros más notables. ^{[17] [18]}

La primera parte es una exposición en profundidad del De ratiociniis in aleae ludo de Huygens . Bernoulli ofrece en esta sección soluciones a los cinco problemas que Huygens planteó al final de su obra. ^[11] En particular, desarrolla el concepto de Huygens de valor esperado: el promedio ponderado de todos los resultados posibles de un evento. Huygens había desarrollado la siguiente fórmula:

${\displaystyle E={\frac {p_{0}a_{0}+p_{1}a_{1}+p_{2}a_{2}+\cdots +p_{n}a_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}.}$^[19]

En esta fórmula, E es el valor esperado, p _i son las probabilidades de alcanzar cada valor y a _i son los valores alcanzables. Bernoulli normaliza el valor esperado al suponer que p _i son las probabilidades de todos los resultados disjuntos del valor, lo que implica que p ₀  +  p ₁  + ... +  p _n  = 1. Otra teoría clave desarrollada en esta parte es la probabilidad de lograr al menos un cierto número de éxitos a partir de un número de eventos binarios, hoy llamados ensayos de Bernoulli , ^[20] dado que la probabilidad de éxito en cada evento era la misma. Bernoulli demuestra a través de la inducción matemática que dado a el número de resultados favorables en cada evento, b el número de resultados totales en cada evento, d el número deseado de resultados exitosos y e el número de eventos, la probabilidad de al menos d éxitos es

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{ed}{\binom {e}{d+i}}({\frac {a}{b}}\right)^{d+i}({\frac {ba}{b}}\right)^{edi}.}$^[21]

La primera parte concluye con lo que ahora se conoce como la distribución de Bernoulli . ^[16]

La segunda parte amplía la combinatoria enumerativa, o la numeración sistemática de objetos. Fue en esta parte donde se desarrollaron dos de las formas más importantes de las doce vías (las permutaciones y combinaciones que formarían la base del tema), aunque se habían introducido antes para los fines de la teoría de la probabilidad. Da la primera prueba no inductiva de la expansión binomial para exponentes enteros utilizando argumentos combinatorios. En una nota más distantemente relacionada con la combinatoria, la segunda sección también analiza la fórmula general para las sumas de potencias enteras; los coeficientes libres de esta fórmula se denominan, por lo tanto, números de Bernoulli , que influyeron en el trabajo de Abraham de Moivre más tarde, ^[16] y que han demostrado tener numerosas aplicaciones en la teoría de números. ^[22]

En la tercera parte, Bernoulli aplica las técnicas de probabilidad de la primera sección a los juegos de azar comunes que se juegan con naipes o dados. ^[11] No siente la necesidad de describir las reglas y objetivos de los juegos de cartas que analiza. Presenta problemas de probabilidad relacionados con estos juegos y, una vez que se ha establecido un método, plantea generalizaciones. Por ejemplo, un problema que involucra el número esperado de "cartas de la corte" (jota, reina y rey) que uno elegiría en una mano de cinco cartas de una baraja estándar de 52 cartas que contiene 12 cartas de la corte podría generalizarse a una baraja con a cartas que contenga b cartas de la corte y una mano de c cartas. ^[23]

La cuarta sección continúa la tendencia de las aplicaciones prácticas al discutir las aplicaciones de la probabilidad a civilibus , moralibus y oeconomicis , o a decisiones personales, judiciales y financieras. En esta sección, Bernoulli difiere de la escuela de pensamiento conocida como frecuentismo , que definía la probabilidad en un sentido empírico. ^[24] Como contrapartida, produce un resultado parecido a la ley de los grandes números , que describe como una predicción de que los resultados de la observación se acercarían a la probabilidad teórica a medida que se realizaran más ensayos; en contraste, los frecuentistas definían la probabilidad en términos de la primera. ^[14] Bernoulli estaba muy orgulloso de este resultado, refiriéndose a él como su "teorema de oro", ^[25] y comentó que era "un problema en el que me he involucrado durante veinte años". ^[26] Esta primera versión de la ley se conoce hoy en día como el teorema de Bernoulli o la ley débil de los grandes números, ya que es menos rigurosa y general que la versión moderna. ^[27]

Después de estas cuatro secciones expositivas primarias, casi como una ocurrencia posterior, Bernoulli añadió a Ars Conjectandi un tratado sobre cálculo , que trataba sobre series infinitas . ^[16] Era una reimpresión de cinco disertaciones que había publicado entre 1686 y 1704. ^[21]

Ars Conjectandi se considera un trabajo de referencia en combinatoria y el trabajo fundador de la probabilidad matemática. ^{[28] [29] [30]} Entre otros, una antología de grandes escritos matemáticos publicada por Elsevier y editada por el historiador Ivor Grattan-Guinness describe los estudios expuestos en la obra "[que ocuparon] a los matemáticos a lo largo de los siglos XVIII y XIX", una influencia que duró tres siglos. ^[31] El estadístico Anthony Edwards elogió no solo el contenido innovador del libro, escribiendo que demostraba la "profunda familiaridad de Bernoulli con las muchas facetas [de la combinatoria]", sino también su forma: "[Ars Conjectandi] es un libro muy bien escrito, excelentemente construido". ^[32] Quizás más recientemente, el notable historiador matemático popular y topólogo William Dunham llamó al artículo "el siguiente hito de la teoría de la probabilidad [después del trabajo de Cardano]", así como "la obra maestra de Jakob Bernoulli". ^[1] Esto contribuyó en gran medida a lo que Dunham describe como "la reputación ya establecida de Bernoulli". ^[33]

El trabajo de Bernoulli influyó en muchos matemáticos contemporáneos y posteriores. Incluso el tratado sobre cálculo, que parecía una ocurrencia tardía, ha sido citado con frecuencia; más notablemente por el matemático escocés Colin Maclaurin . ^[16] El programa de Jacob de aplicar su arte de la conjetura a los asuntos de la vida práctica, que terminó con su muerte en 1705, fue continuado por su sobrino Nicolaus Bernoulli , después de haber tomado partes textuales de Ars Conjectandi , para su propia disertación titulada De Usu Artis Conjectandi in Jure que ya se publicó en 1709. ^[6] Nicolas finalmente editó y ayudó a la publicación de Ars conjectandi en 1713. Más tarde, Nicolaus también editó las obras completas de Jacob Bernoulli y las complementó con resultados tomados del diario de Jacob. ^[34]

Pierre Rémond de Montmort , en colaboración con Nicolaus Bernoulli, escribió un libro sobre probabilidad, Essay d'analyse sur les jeux de hazard , que apareció en 1708 y que puede considerarse una extensión de la Parte III de Ars Conjectandi , que aplica la combinatoria y la probabilidad para analizar los juegos de azar que se jugaban comúnmente en esa época. ^[34] Abraham de Moivre también escribió extensamente sobre el tema en De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus de 1711 y su extensión The Doctrine of Chances or, a Method of Calculating the Probability of Events in Play de 1718. ^[35] El logro más notable de De Moivre en probabilidad fue el descubrimiento de la primera instancia del teorema del límite central , mediante el cual pudo aproximar la distribución binomial con la distribución normal . ^[16] Para lograr esto, De Moivre desarrolló una secuencia asintótica para la función factorial —a la que ahora nos referimos como la aproximación de Stirling— y la fórmula de Bernoulli para la suma de potencias de números. ^[16] Tanto Montmort como De Moivre adoptaron el término probabilidad de Jacob Bernoulli, que no se había utilizado en todas las publicaciones anteriores sobre juegos de azar, y ambos trabajos fueron enormemente populares. ^[6]

El refinamiento del Teorema Áureo de Bernoulli, en relación con la convergencia de la probabilidad teórica y la probabilidad empírica, fue retomado por muchos matemáticos notables de la época, como De Moivre, Laplace, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov y Khinchin. La prueba completa de la Ley de los Grandes Números para las variables aleatorias arbitrarias finalmente se proporcionó durante la primera mitad del siglo XX. ^[36]

Una influencia indirecta significativa fue Thomas Simpson , quien logró un resultado que se parecía mucho al de De Moivre. Según el prefacio de la obra de Simpson, su propio trabajo dependía en gran medida del de De Moivre; este último, de hecho, describió el trabajo de Simpson como una versión abreviada del suyo. ^[37] Finalmente, Thomas Bayes escribió un ensayo discutiendo las implicaciones teológicas de los resultados de De Moivre: su solución a un problema, a saber, el de determinar la probabilidad de un evento por su frecuencia relativa, fue tomada como una prueba de la existencia de Dios por Bayes. ^[38] Finalmente, en 1812, Pierre-Simon Laplace publicó su Théorie analytique des probabilités en la que consolidó y estableció muchos resultados fundamentales en probabilidad y estadística, como la función generadora de momentos, el método de mínimos cuadrados, la probabilidad inductiva y la prueba de hipótesis, completando así la fase final en el desarrollo de la probabilidad clásica. De hecho, a la luz de todo esto, hay buenas razones para que el trabajo de Bernoulli sea aclamado como un evento seminal; No sólo sus diversas influencias, directas e indirectas, hicieron avanzar el estudio matemático de la combinatoria, sino que también influyó en la teología.

• Distribución multinomial
• El proceso de Bernoulli
• Ley de los grandes números
• Números de Bernoulli
• Distribución binomial

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• Citas de Jakob Bernoulli
• Fuentes en la historia de la probabilidad y la estadística Archivado el 13 de mayo de 2013 en Wayback Machine
• Biografía de Jakob Bernoulli