Distribución binomial negativa extendida

En probabilidad y estadística, la distribución binomial negativa extendida es una distribución de probabilidad discreta que extiende la distribución binomial negativa . Es una versión truncada de la distribución binomial negativa ^{[ 1 ]} para la cual se han estudiado métodos de estimación. ^{[ 2 ]}

En el contexto de la ciencia actuarial , la distribución apareció en su forma general en un artículo de K. Hess, A. Liewald y K. D. Schmidt ^{[ 3 ]} cuando caracterizaron todas las distribuciones para las que funciona la recursión de Panjer extendida . Para el caso m = 1 , la distribución ya fue analizada por Willmot ^{[ 4 ]} y colocada en una familia parametrizada con la distribución logarítmica y la distribución binomial negativa por H. U. Gerber ^{[ 5 ] .}

Para un número natural m ≥ 1 y parámetros reales p , r con 0 < p ≤ 1 y – m < r < – m + 1 , la función de masa de probabilidad de la distribución ExtNegBin( m , r , p ) viene dada por

${\displaystyle f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ para }}k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}}$

y

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{para }}k\in {\mathbb {N} }{\text{con }}k\geq m,}$

dónde

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)}$

es el coeficiente binomial (generalizado) y Γ denota la función gamma .

Utilizando que f ( . ; m , r , ps ) para s ∈ (0, 1 ] también es una función de masa de probabilidad, se deduce que la función generadora de probabilidad viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (s)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\frac {(1-ps)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\text{para }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

Para el caso importante m = 1 , por lo tanto r ∈ (–1, 0) , esto se simplifica a

${\displaystyle \varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{para }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.}$