Distribución logarítmica

En probabilidad y estadística , la distribución logarítmica (también conocida como distribución de series logarítmicas o distribución de series logarítmicas ) es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión de la serie de Maclaurin.

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

De esto obtenemos la identidad

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Esto nos lleva directamente a la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria distribuida en Log( p ) :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

para k  ≥ 1, y donde 0 <  p  < 1. Debido a la identidad anterior, la distribución está correctamente normalizada.

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

donde B es la función beta incompleta .

Una distribución de Poisson compuesta con variables aleatorias con distribución Log( p ) tiene una distribución binomial negativa . En otras palabras, si N es una variable aleatoria con una distribución de Poisson y X _i , i = 1, 2, 3, ... es una secuencia infinita de variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica, cada una con una distribución Log( p ), entonces

${\displaystyle \suma _{i=1}^{N}X_{i}}$

tiene una distribución binomial negativa. De esta manera, se observa que la distribución binomial negativa es una distribución de Poisson compuesta .

RA Fisher describió la distribución logarítmica en un artículo que la utilizó para modelar la abundancia relativa de especies . ^[1]

• Distribución de Poisson (también derivada de una serie de Maclaurin)

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Capítulo 7: Distribuciones logarítmicas y lagrangianas". Distribuciones discretas univariadas (3.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Weisstein, Eric W. "Distribución de series logarítmicas". MathWorld .