regresión de Poisson

En estadística , la regresión de Poisson es una forma generalizada de análisis de regresión lineal que se utiliza para modelar datos de conteo y tablas de contingencia . ^{[ 1 ]} La regresión de Poisson supone que la variable de respuesta Y tiene una distribución de Poisson y que el logaritmo de su valor esperado puede modelarse mediante una combinación lineal de parámetros desconocidos . Un modelo de regresión de Poisson a veces se conoce como modelo log-lineal , especialmente cuando se utiliza para modelar tablas de contingencia.

La regresión binomial negativa es una generalización popular de la regresión de Poisson porque flexibiliza el supuesto altamente restrictivo de que la varianza es igual a la media, propio del modelo de Poisson. El modelo tradicional de regresión binomial negativa se basa en la distribución de mezcla Poisson-gamma. Este modelo es popular porque representa la heterogeneidad de Poisson con una distribución gamma.

Los modelos de regresión de Poisson son modelos lineales generalizados con el logaritmo como función de enlace (canónica) y la función de distribución de Poisson como distribución de probabilidad supuesta de la respuesta.

Si${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$es un vector de variables independientes , entonces el modelo toma la forma

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } '\mathbf {x} ,}$

dónde${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}}$. A veces esto se escribe de forma más compacta como

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {x} }$Ahora es un vector de ( n  + 1) dimensiones que consta de n variables independientes concatenadas al número uno. ${\displaystyle \theta }$es simplemente${\displaystyle \beta }$concatenado a${\displaystyle \alpha }$.

Por lo tanto, cuando se le da un modelo de regresión de Poisson${\displaystyle \theta }$y un vector de entrada${\displaystyle \mathbf {x} }$, la media prevista de la distribución de Poisson asociada viene dada por

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} )=e^{{\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} }.\,}$

Si${\displaystyle Y_{i}}$son observaciones independientes con valores correspondientes${\displaystyle \mathbf {x} _ {i}}$de las variables predictoras, entonces${\displaystyle \theta }$Se puede estimar mediante máxima verosimilitud . Las estimaciones de máxima verosimilitud carecen de una expresión analítica y deben obtenerse mediante métodos numéricos. La superficie de probabilidad para la regresión de Poisson de máxima verosimilitud siempre es cóncava, lo que hace que el método de Newton-Raphson u otros métodos basados ​​en gradientes sean técnicas de estimación apropiadas.

Supongamos que tenemos un modelo con un único predictor, es decir,${\displaystyle n=1}$:

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\beta x}$

Supongamos que calculamos los valores predichos en el punto${\displaystyle (Y_{2},x_{2})}$y${\displaystyle (Y_{1},x_{1})}$:

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))=\alpha +\beta x_{2}}$

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\alpha +\beta x_{1}}$

Restando el primero del segundo:

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))-\log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\beta (x_{2}-x_{1})}$

Supongamos ahora que${\displaystyle x_{2}=x_{1}+1}$Obtenemos:

${\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2}))-\log(\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1}))=\beta }$

Por lo tanto, el coeficiente del modelo debe interpretarse como el aumento en el logaritmo del recuento de la variable de resultado cuando la variable independiente aumenta en 1.

Aplicando las reglas de los logaritmos:

${\displaystyle \log \left({\dfrac {\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})}{\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}}\right)=\beta }$

${\displaystyle {\dfrac {\operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})}{\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}}=e^{\beta }}$

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{2}\mid x_{2})=e^{\beta }\operatorname {E} (Y_{1}\mid x_{1})}$

Es decir, cuando la variable independiente aumenta en 1, la variable de resultado se multiplica por el coeficiente elevado a la potencia.

El coeficiente exponenciado también se denomina razón de incidencia .

Dado un conjunto de parámetros θ y un vector de entrada x , la media de la distribución de Poisson predicha , como se indicó anteriormente, viene dada por

${\displaystyle \lambda$ :=\operatorname {E} (Y\mid x)=e^{\theta 'x},\,}

y así, la función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson viene dada por

${\displaystyle p(y\mid x;\theta )={\frac {\lambda ^{y}}{y!}}e^{-\lambda }={\frac {e^{y\theta 'x}e^{-e^{\theta 'x}}}{y!}}}$

Ahora supongamos que se nos da un conjunto de datos que consta de m vectores.${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{n+1},\,i=1,\ldots ,m}$, junto con un conjunto de valores m${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N} }$Entonces, para un conjunto dado de parámetros θ , la probabilidad de obtener este conjunto particular de datos viene dada por

${\displaystyle p(y_{1},\ldots ,y_{m}\mid x_{1},\ldots ,x_{m};\theta )=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.}$

Mediante el método de máxima verosimilitud , deseamos encontrar el conjunto de parámetros θ que haga que esta probabilidad sea lo más grande posible. Para ello, primero se reescribe la ecuación como una función de verosimilitud en términos de θ :

${\displaystyle L(\theta \mid X,Y)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.}$

Nótese que la expresión del lado derecho no ha cambiado realmente. Una fórmula de esta forma suele ser difícil de manejar; en su lugar, se utiliza la log-verosimilitud :

${\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\log L(\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}-\log(y_{i}!)\right).}$

Nótese que los parámetros θ solo aparecen en los dos primeros términos de cada término de la suma. Por lo tanto, dado que solo nos interesa encontrar el mejor valor para θ, podemos omitir y _i ! y simplemente escribir

${\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}\right).}$

Para encontrar un máximo, necesitamos resolver una ecuación.${\displaystyle {\frac {\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }}=0}$que no tiene solución de forma cerrada. Sin embargo, la log-verosimilitud negativa,${\displaystyle -\ell (\theta \mid X,Y)}$, es una función convexa, por lo que se pueden aplicar técnicas estándar de optimización convexa, como el descenso de gradiente, para encontrar el valor óptimo de θ .

La regresión de Poisson puede ser apropiada cuando la variable dependiente es un recuento, por ejemplo, de eventos como la llegada de una llamada telefónica a un centro de llamadas. ^{[ 3 ]} Los eventos deben ser independientes en el sentido de que la llegada de una llamada no hará que otra sea más o menos probable, pero se entiende que la probabilidad por unidad de tiempo de los eventos está relacionada con covariables como la hora del día.

glm ( y ~ offset ( log ( exposición )) + x , familia = poisson ( enlace = log ) )

• Modelo con inflación de ceros
• Distribución de Poisson
• Modelo de Poisson de efectos fijos
• Métodos de verosimilitud parcial para datos de panel §  QMLE agrupado para modelos de Poisson
• Función de control (econometría) §  Endogeneidad en la regresión de Poisson

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