Distribución de tipo fase discreta

La distribución de tipo fase discreta es una distribución de probabilidad que resulta de un sistema de una o más distribuciones geométricas interrelacionadas que ocurren en secuencia, o fases. La secuencia en la que ocurre cada una de las fases puede ser en sí misma un proceso estocástico . La distribución puede representarse mediante una variable aleatoria que describe el tiempo hasta la absorción de una cadena de Markov absorbente con un estado absorbente. Cada uno de los estados de la cadena de Markov representa una de las fases.

Tiene equivalente temporal continuo en la distribución tipo fase .

Una cadena de Markov terminal es una cadena de Markov en la que todos los estados son transitorios, excepto uno que es absorbente. Reordenando los estados, la matriz de probabilidad de transición de una cadena de Markov terminal con estados transitorios es ${\estilo de visualización m}$

${\displaystyle {P}=\left[{\begin{matriz}{T}&\mathbf {T} ^{0}\\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matriz}}\right],}$

donde es una matriz, y son vectores columna con entradas, y . La matriz de transición se caracteriza completamente por su bloque superior izquierdo . ${\estilo de visualización {T}}$${\displaystyle m\veces m}$${\displaystyle \mathbf {T} ^{0}}$${\displaystyle \mathbf {0}}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \mathbf {T} ^{0}+{T}\mathbf {1} =\mathbf {1} }$${\estilo de visualización {T}}$

Definición. Una distribución en es una distribución de tipo fase discreta si es la distribución del tiempo del primer paso al estado absorbente de una cadena de Markov terminal con un número finito de estados. ${\displaystyle \{0,1,2,...\}}$

Fijemos una cadena de Markov terminal. Denotemos el bloque superior izquierdo de su matriz de transición y la distribución inicial. La distribución del primer tiempo hasta el estado absorbente se denota como o . ${\estilo de visualización {T}}$${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \mathrm {PH} _{d}({\boldsymbol {\tau }},{T})}$${\displaystyle \mathrm {DPH} ({\boldsymbol {\tau }},{T})}$

Su función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(k)=1-{\boldsymbol {\tau }}{T}^{k}\mathbf {1} ,}$

para , y su función de densidad es ${\displaystyle k=1,2,...}$

${\displaystyle f(k)={\boldsymbol {\tau }}{T}^{k-1}\mathbf {T^{0}} ,}$

para . Se supone que la probabilidad de que el proceso comience en el estado absorbente es cero. Los momentos factoriales de la función de distribución están dados por, ${\displaystyle k=1,2,...}$

${\displaystyle E[K(K-1)...(K-n+1)]=n!{\boldsymbol {\tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{ n-1}\mathbf {1},}$

donde es la matriz de identidad de dimensión apropiada . ${\displaystyle I}$

Así como la distribución temporal continua es una generalización de la distribución exponencial, la distribución temporal discreta es una generalización de la distribución geométrica, por ejemplo:

• Distribución degenerada , masa puntual en cero o distribución tipo fase vacía – 0 fases.
• Distribución geométrica – 1 fase.
• Distribución binomial negativa : 2 o más fases idénticas en secuencia.
• Distribución geométrica mixta: 2 o más fases no idénticas, cada una de las cuales tiene una probabilidad de ocurrir de manera mutuamente excluyente o paralela. Este es el análogo discreto de la distribución hiperexponencial , pero no se llama distribución hipergeométrica , ya que ese nombre se usa para un tipo completamente diferente de distribución discreta.

• Distribución por tipo de fase
• Modelo de colas
• Teoría de colas

• MF Neuts. Soluciones matriciales geométricas en modelos estocásticos: un enfoque algorítmico, Capítulo 2: Distribuciones de probabilidad de tipo fase; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico , 1.ª edición. Capítulo 2: Distribuciones de PH; ASA SIAM, 1999.