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teoría de colas

Las redes de colas son sistemas en los que las colas individuales están conectadas por una red de enrutamiento. En esta imagen, los servidores están representados por círculos, ...

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Las redes de colas son sistemas en los que las colas individuales están conectadas por una red de enrutamiento. En esta imagen, los servidores están representados por círculos, las colas por una serie de rectángulos y la red de enrutamiento por flechas. En el estudio de las redes de colas, normalmente se busca obtener la distribución de equilibrio de la red, aunque en muchas aplicaciones el estudio del estado transitorio es fundamental.

La teoría de colas es el estudio matemático de las filas o colas de espera . [ 1 ] Se construye un modelo de colas para poder predecir la longitud de las colas y el tiempo de espera. [ 1 ] La teoría de colas se considera generalmente una rama de la investigación operativa porque sus resultados se utilizan a menudo al tomar decisiones empresariales sobre los recursos necesarios para prestar un servicio.

La teoría de colas tiene su origen en la investigación de Agner Krarup Erlang , quien creó modelos para describir el sistema de llamadas entrantes en la Compañía de la Central Telefónica de Copenhague. [ 1 ] Estas ideas fueron fundamentales para el campo de la ingeniería de teletráfico y desde entonces han tenido aplicaciones en telecomunicaciones , ingeniería de tráfico , informática , [ 2 ] gestión de proyectos y, en particular, ingeniería industrial , donde se aplican en el diseño de fábricas, tiendas, oficinas y hospitales. [ 3 ] [ 4 ]

Descripción

La teoría de colas es una de las principales áreas de estudio en la disciplina de la ciencia de la administración . Mediante la ciencia de la administración, las empresas pueden resolver diversos problemas utilizando diferentes enfoques científicos y matemáticos. El análisis de colas es el análisis probabilístico de las filas de espera, por lo que los resultados, también conocidos como características operativas, son probabilísticos en lugar de deterministas. [ 5 ] La probabilidad de que n clientes estén en el sistema de colas, el número promedio de clientes en el sistema de colas, el número promedio de clientes en la fila de espera, el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema de colas, el tiempo promedio que un cliente pasa en la fila de espera y, finalmente, la probabilidad de que el servidor esté ocupado o inactivo son todas las diferentes características operativas que calculan estos modelos de colas. [ 5 ] El objetivo general del análisis de colas es calcular estas características para el sistema actual y luego probar varias alternativas que podrían conducir a una mejora. Calcular las características operativas para el sistema actual y comparar los valores con las características de los sistemas alternativos permite a los gerentes ver las ventajas y desventajas de cada opción potencial. Estos sistemas ayudan en el proceso de toma de decisiones final al mostrar formas de aumentar los ahorros, reducir el tiempo de espera, mejorar la eficiencia, etc. Los principales modelos de colas que se pueden utilizar son el sistema de cola de espera de un solo servidor y el sistema de cola de espera de múltiples servidores, que se describen más adelante. Estos modelos se pueden diferenciar aún más según si los tiempos de servicio son constantes o indefinidos, la longitud de la cola es finita, la población de llamadas es finita, etc. [ 5 ]

Nodos de cola individuales

Una cola o nodo de cola puede considerarse prácticamente una caja negra . Los trabajos (también llamados clientes o solicitudes , según el ámbito) llegan a la cola, posiblemente esperan un tiempo, se procesan durante un tiempo y luego salen de la cola.

Una caja negra. Los trabajos llegan a la cola y salen de ella.

Sin embargo, el nodo de cola no es una caja negra total, ya que se necesita información sobre su funcionamiento interno. La cola cuenta con uno o más servidores , cada uno de los cuales puede asociarse con una tarea entrante. Cuando la tarea finaliza y se envía, ese servidor queda libre para asociarse nuevamente con otra tarea entrante.

Un nodo de cola con 3 servidores. El servidor a está inactivo, por lo que se le asigna una tarea para procesar. El servidor b está ocupado y tardará un tiempo en completar su tarea. El servidor c acaba de terminar una tarea y, por lo tanto, será el siguiente en recibir una tarea.

Una analogía frecuente es la del cajero de un supermercado. Los clientes llegan, son atendidos por el cajero y se marchan. Cada cajero atiende a un cliente a la vez, por lo que se trata de un nodo de cola con un único servidor. Una configuración en la que un cliente se marcha inmediatamente si el cajero está ocupado cuando llega se denomina cola sin búfer (o sin zona de espera ). Una configuración con una zona de espera para hasta n clientes se denomina cola con un búfer de tamaño n .

proceso de nacimiento y muerte

El comportamiento de una cola individual (también llamada nodo de cola ) se puede describir mediante un proceso de nacimiento y muerte , que describe las llegadas y salidas de la cola, junto con el número de trabajos que se encuentran actualmente en el sistema. Si k representa el número de trabajos en el sistema (ya sea que se estén atendiendo o estén en espera si la cola tiene un búfer de trabajos en espera), entonces una llegada incrementa k en 1 y una salida lo disminuye en 1.

El sistema transita entre valores de k por nacimientos y muertes , que ocurren a las tasas de llegada.λi{\displaystyle \lambda _{i}}y las tasas de salidaμi{\displaystyle \mu _{i}}para cada trabajoi{\displaystyle i}Para una cola, generalmente se considera que estas tasas no varían con el número de trabajos en la cola, por lo que se asume una única tasa promedio de llegadas/salidas por unidad de tiempo. Bajo esta suposición, este proceso tiene una tasa de llegada deλ=promedio(λ1,λ2,…,λk){\displaystyle \lambda ={\text{promedio}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{k})}y una tasa de salida deμ=promedio(μ1,μ2,…,μk){\displaystyle \mu ={\text{promedio}}(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}.

Un proceso de nacimiento y muerte. Los valores en los círculos representan el estado del sistema, que evoluciona en función de las tasas de llegada λ i y las tasas de salida μ i .
Una cola con 1 servidor, tasa de llegada λ y tasa de salida μ

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de estado estacionario para el proceso de nacimiento y muerte, conocidas como ecuaciones de balance , son las siguientes. AquíPAGnorte{\displaystyle P_{n}}denota la probabilidad de estado estacionario de estar en el estado n .

μ1PAG1=λ0PAG0{\ Displaystyle \ mu _ {1} P_ {1} = \ lambda _ {0} P_ {0}}
λ0PAG0+μ2PAG2=(λ1+μ1)PAG1{\displaystyle \lambda _ {0}P_ {0}+\ mu _ {2} P_ {2} = (\ lambda _ {1} + \ mu _ {1}) P_ {1}}
λnorte−1PAGnorte−1+μnorte+1PAGnorte+1=(λnorte+μnorte)PAGnorte{\displaystyle \lambda _ {n-1}P_ {n-1}+\mu _ {n+1}P_ {n+1}=(\lambda _ {n}+\mu _ {n})P_ {n}}

Las dos primeras ecuaciones implican

PAG1=λ0μ1PAG0{\displaystyle P_{1}={\frac {\lambda _ {0}}{\mu _ {1}}}P_ {0}}

y

PAG2=λ1μ2PAG1+1μ2(μ1PAG1−λ0PAG0)=λ1μ2PAG1=λ1λ0μ2μ1PAG0{\displaystyle P_{2}={\frac {\lambda _ {1}}{\mu _ {2}}}P_ {1}+{\frac {1}{\mu _ {2}}}(\mu _ {1}P_ {1}-\lambda _ {0}P_ {0})={\frac {\lambda _ {1}}{\mu _ {2}}}P_ {1}={\frac {\lambda _{1}\lambda _{0}}{\mu _{2}\mu _{1}}}P_{0}}.

Por inducción matemática,

PAGnorte=λnorte−1λnorte−2⋯λ0μnorteμnorte−1⋯μ1PAG0=PAG0∏i=0norte−1λiμi+1{\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda _{n-1}\lambda _{n-2}\cdots \lambda _{0}}{\mu _{n}\mu _{n-1}\cdots \mu _{1}}}P_{0}=P_{0}\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _ {i+1}}}}.

La condición∑norte=0∞PAGnorte=PAG0+PAG0∑norte=1∞∏i=0norte−1λiμi+1=1{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}=P_{0}+P_{0}\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}=1}conduce a

PAG0=11+∑norte=1∞∏i=0norte−1λiμi+1{\displaystyle P_{0}={\frac {1}{1+\sum _{n=1}^{\infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {\lambda _{i}}{\mu _{i+1}}}}}}

que, junto con la ecuación paraPAGnorte{\displaystyle P_{n}}(norte≥1){\displaystyle (n\geq 1)}, describe completamente las probabilidades de estado estacionario requeridas.

Notación de Kendall

Los nodos de cola individuales se suelen describir utilizando la notación de Kendall en la forma A/S/ c, donde A describe la distribución de duraciones entre cada llegada a la cola, S la distribución de tiempos de servicio para trabajos y c el número de servidores en el nodo. [ 6 ] [ 7 ] Como ejemplo de la notación, la cola M/M/1 es un modelo simple donde un único servidor atiende trabajos que llegan según un proceso de Poisson (donde las duraciones entre llegadas se distribuyen exponencialmente ) y tienen tiempos de servicio distribuidos exponencialmente (la M denota un proceso de Markov ). En una cola M/G/1 , la G significa general e indica una distribución de probabilidad arbitraria para los tiempos de servicio.

Ejemplo de análisis de una cola M/M/1

Consideremos una cola con un servidor y las siguientes características:

  • λ{\displaystyle \lambda }: la tasa de llegada (el recíproco del tiempo esperado entre la llegada de cada cliente, por ejemplo, 10 clientes por segundo)
  • μ{\displaystyle \mu }: el recíproco del tiempo medio de servicio (el número esperado de finalizaciones de servicio consecutivas por la misma unidad de tiempo, por ejemplo, por cada 30 segundos)
  • n : el parámetro que caracteriza el número de clientes en el sistema.
  • PAGnorte{\displaystyle P_{n}}: la probabilidad de que haya n clientes en el sistema en estado estacionario

Además, dejemosminorte{\displaystyle E_{n}}representan el número de veces que el sistema entra en el estado n , yLnorte{\displaystyle L_{n}}representa el número de veces que el sistema abandona el estado n . Entonces|minorte−Lnorte|∈{0,1}{\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert \in \{0,1\}}para todo n . Es decir, el número de veces que el sistema abandona un estado difiere como máximo en 1 del número de veces que entra en ese estado, ya que volverá a ese estado en algún momento en el futuro (minorte=Lnorte{\displaystyle E_{n}=L_{n}}) O no (|minorte−Lnorte|=1{\displaystyle \left\vert E_{n}-L_{n}\right\vert =1}).

Cuando el sistema alcanza un estado estacionario, la tasa de llegada debe ser igual a la tasa de salida.

Por lo tanto, las ecuaciones de balance

μPAG1=λPAG0{\displaystyle \mu P_{1}=\lambda P_{0}}
λPAG0+μPAG2=(λ+μ)PAG1{\displaystyle \lambda P_{0}+\mu P_{2}=(\lambda +\mu )P_{1}}
λPAGnorte−1+μPAGnorte+1=(λ+μ)PAGnorte{\displaystyle \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_{n}}

implicar

PAGnorte=λμPAGnorte−1, norte=1,2,…{\displaystyle P_{n}={\frac {\lambda }{\mu }}P_{n-1},\ n=1,2,\ldots }

El hecho de quePAG0+PAG1+⋯=1{\displaystyle P_{0}+P_{1}+\cdots =1}conduce a la fórmula de distribución geométrica

PAGnorte=(1−ρ)ρnorte{\displaystyle P_{n}=(1-\rho )\rho ^{n}}

dóndeρ=λμ<1{\displaystyle \rho ={\frac {\lambda }{\mu }}<1}.

Cola simple de dos ecuaciones

Un sistema de colas básico común se atribuye a Erlang y es una modificación de la Ley de Little . Dada una tasa de llegada λ , una tasa de abandono σ y una tasa de salida μ , la longitud de la cola L se define como:

L=λ−σμ{\displaystyle L={\frac {\lambda -\sigma }{\mu }}}.

Suponiendo una distribución exponencial para las tasas, el tiempo de espera W se puede definir como la proporción de llegadas que son atendidas. Esto es igual a la tasa de supervivencia exponencial de aquellos que no abandonan durante el período de espera, lo que da como resultado:

μλ=mi−Wμ{\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}=e^{-W{\mu }}}

La segunda ecuación se suele reescribir como:

W=1μlnorteλμ{\displaystyle W={\frac {1}{\mu }}\mathrm {ln} {\frac {\lambda }{\mu }}}

El modelo de una caja en dos etapas es común en epidemiología . [ 8 ]

Historia

En 1909, Agner Krarup Erlang , un ingeniero danés que trabajaba para la central telefónica de Copenhague, publicó el primer artículo sobre lo que hoy se denomina teoría de colas. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Modeló el número de llamadas telefónicas que llegan a una central mediante un proceso de Poisson y resolvió la cola M/D/1 en 1917 y el modelo de colas M/D/ k en 1920. [ 12 ] En la notación de Kendall:

  • M significa Markov o sin memoria , y significa que las llegadas ocurren según un proceso de Poisson.
  • La D significa determinista y significa que los trabajos que llegan a la cola requieren una cantidad fija de servicio.
  • k describe el número de servidores en el nodo de cola ( k = 1, 2, 3, ...)

Si el nodo tiene más trabajos que servidores, los trabajos se pondrán en cola y esperarán a ser atendidos.

La cola M/G/1 fue resuelta por Felix Pollaczek en 1930, [ 13 ] una solución que posteriormente fue reformulada en términos probabilísticos por Aleksandr Khinchin y que ahora se conoce como la fórmula de Pollaczek-Khinchine . [ 12 ] [ 14 ]

Después de la década de 1940, la teoría de colas se convirtió en un área de interés para los matemáticos. [ 14 ] En 1953, David George Kendall resolvió la cola GI/M/ k [ 15 ] e introdujo la notación moderna para colas, ahora conocida como notación de Kendall . En 1957, Pollaczek estudió la cola GI/G/1 usando una ecuación integral . [ 16 ] John Kingman dio una fórmula para el tiempo medio de espera en una cola G/G/1 , ahora conocida como fórmula de Kingman . [ 17 ]

Leonard Kleinrock trabajó en la aplicación de la teoría de colas a la conmutación de mensajes a principios de la década de 1960 y a la conmutación de paquetes a principios de la década de 1970. Su contribución inicial a este campo fue su tesis doctoral en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) en 1962, publicada en forma de libro en 1964. Su trabajo teórico, publicado a principios de la década de 1970, sentó las bases para el uso de la conmutación de paquetes en la ARPANET , precursora de Internet.

El método geométrico matricial y los métodos analíticos matriciales han permitido considerar colas con distribuciones de tiempo entre llegadas y tiempo de servicio distribuidas de tipo fase . [ 18 ]

Los sistemas con órbitas acopladas son una parte importante de la teoría de colas en su aplicación a redes inalámbricas y procesamiento de señales. [ 19 ]

La aplicación moderna de la teoría de colas se refiere, entre otras cosas, al desarrollo de productos donde los productos (materiales) tienen una existencia espaciotemporal, en el sentido de que los productos tienen un cierto volumen y una cierta duración. [ 20 ]

Problemas como las métricas de rendimiento para la cola M/G/ k siguen siendo un problema abierto. [ 12 ] [ 14 ]

Disciplinas de servicio

En los nodos de cola se pueden utilizar diversas políticas de planificación:

El primero en entrar, el primero en salir
Ejemplo de cola de primero en entrar, primero en salir (FIFO).
También llamado primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS), [ 21 ] este principio establece que los clientes son atendidos de uno en uno y que el cliente que ha estado esperando más tiempo es atendido primero. [ 22 ]
El último en entrar, el primero en salir.
Este principio también atiende a los clientes de uno en uno, pero el cliente con el menor tiempo de espera será atendido primero. [ 22 ] También conocido como pila .
Compartición del procesador
La capacidad de servicio se comparte equitativamente entre los clientes. [ 22 ]
Servicio en orden aleatorio (SIRO)
Esta disciplina, también conocida como orden de servicio aleatorio (ROS, por sus siglas en inglés), establece que el siguiente trabajo que se atenderá se selecciona al azar entre los trabajos que esperan en la cola.
Prioridad
Los clientes con alta prioridad son atendidos primero. [ 22 ] Las colas de prioridad pueden ser de dos tipos: no preemptivas (donde un trabajo en servicio no puede ser interrumpido) y preemptivas (donde un trabajo en servicio puede ser interrumpido por un trabajo de mayor prioridad). No se pierde trabajo en ninguno de los dos modelos. [ 23 ]
Primero el trabajo más corto
El siguiente trabajo que se atenderá es el de menor tamaño. [ 24 ]
Primero el trabajo más corto preventivo
El siguiente trabajo que se atenderá es el que tenga el tamaño original más pequeño. [ 25 ]
Tiempo de procesamiento restante más corto
El siguiente trabajo a atender es aquel con el menor requisito de procesamiento restante. [ 26 ]
Instalación de servicio
  • Servidor único: los clientes hacen fila y solo hay un servidor.
  • Varios servidores paralelos (cola única): los clientes hacen cola y hay varios servidores.
  • Varios servidores paralelos (varias colas): hay muchos contadores y los clientes pueden decidir en cuál ponerse en cola.
Servidor poco fiable

Las fallas del servidor ocurren según un proceso estocástico (aleatorio) (generalmente de Poisson) y van seguidas de períodos de configuración durante los cuales el servidor no está disponible. El cliente afectado permanece en el área de servicio hasta que se repara el servidor. [ 27 ]

Comportamiento de espera del cliente
  • Rechazo: los clientes deciden no unirse a la cola si es demasiado larga.
  • El comportamiento de los clientes al cambiar de cola es cuando piensan que así serán atendidos más rápido.
  • Incumplimiento del acuerdo: los clientes abandonan la cola si han esperado demasiado tiempo para ser atendidos.

Los clientes que llegan y no son atendidos (ya sea porque la cola no tiene espacio de reserva o porque se niegan a ser atendidos o cancelan su reserva) también se conocen como clientes que abandonan la cola. La tasa promedio de clientes que abandonan la cola es un parámetro importante que describe el estado de la cola.

Redes de colas

Las redes de colas son sistemas en los que múltiples colas están conectadas mediante enrutamiento de clientes . Cuando un cliente es atendido en un nodo, puede unirse a otro nodo y entrar en cola para ser atendido, o abandonar la red.

Para redes de m nodos, el estado del sistema se puede describir mediante un vector m- dimensional ( x 1 , x 2 , ..., x m ) donde x i representa el número de clientes en cada nodo.

Las redes de colas no triviales más simples se denominan colas en tándem . [ 28 ] Los primeros resultados significativos en esta área fueron las redes de Jackson , [ 29 ] [ 30 ] para las cuales existe una distribución estacionaria de forma de producto eficiente y se puede calcular el análisis del valor medio [ 31 ] (que permite métricas promedio como el rendimiento y los tiempos de permanencia). [ 32 ] Si el número total de clientes en la red permanece constante, la red se denomina red cerrada y se ha demostrado que también tiene una distribución estacionaria de forma de producto mediante el teorema de Gordon-Newell . [ 33 ] Este resultado se extendió a la red BCMP , [ 34 ] donde se demuestra que una red con tiempos de servicio, regímenes y enrutamiento de clientes muy generales también exhibe una distribución estacionaria de forma de producto. La constante de normalización se puede calcular con el algoritmo de Buzen , propuesto en 1973. [ 35 ]

También se han investigado redes de clientes, como las redes de Kelly , donde los clientes de diferentes clases experimentan diferentes niveles de prioridad en diferentes nodos de servicio. [ 36 ] Otro tipo de red son las redes G , propuestas por primera vez por Erol Gelenbe en 1993: [ 37 ] estas redes no asumen distribuciones de tiempo exponenciales como la red clásica de Jackson.

Algoritmos de enrutamiento

En redes de tiempo discreto donde existe una restricción sobre qué nodos de servicio pueden estar activos en un momento dado, el algoritmo de planificación de peso máximo elige una política de servicio para proporcionar un rendimiento óptimo en el caso de que cada trabajo visite solo un nodo de servicio de una sola persona. [ 21 ] En el caso más general donde los trabajos pueden visitar más de un nodo, el enrutamiento por contrapresión proporciona un rendimiento óptimo. Un planificador de red debe elegir un algoritmo de cola , que afecta las características de la red en su conjunto. [ 38 ]

Límites de campo medio

Los modelos de campo medio consideran el comportamiento límite de la medida empírica (proporción de colas en diferentes estados) a medida que el número de colas m tiende a infinito. El impacto de otras colas sobre cualquier cola dada en la red se aproxima mediante una ecuación diferencial. El modelo determinista converge a la misma distribución estacionaria que el modelo original. [ 39 ]

Aproximaciones de tráfico intenso/difusión

En un sistema con altas tasas de ocupación (utilización cercana a 1), se puede utilizar una aproximación de tráfico intenso para aproximar el proceso de longitud de cola mediante un movimiento browniano reflejado , [ 40 ] un proceso de Ornstein-Uhlenbeck o un proceso de difusión más general . [ 41 ] El número de dimensiones del proceso browniano es igual al número de nodos de cola, con la difusión restringida al ortante no negativo .

Límites de fluidos

Los modelos fluidos son análogos deterministas continuos de redes de colas que se obtienen al tomar el límite cuando el proceso se escala en el tiempo y el espacio, permitiendo la presencia de objetos heterogéneos. Esta trayectoria escalada converge a una ecuación determinista que permite demostrar la estabilidad del sistema. Se sabe que una red de colas puede ser estable pero tener un límite fluido inestable. [ 42 ]

Aplicaciones de colas

La teoría de colas tiene una amplia aplicación en la informática y las tecnologías de la información. En redes, por ejemplo, las colas son fundamentales para los enrutadores y conmutadores, donde los paquetes se apilan para su transmisión. Al aplicar los principios de la teoría de colas, los diseñadores pueden optimizar estos sistemas, garantizando un rendimiento ágil y una utilización eficiente de los recursos.

Más allá del ámbito tecnológico, la teoría de colas es relevante para las experiencias cotidianas. Ya sea haciendo fila en un supermercado o en el transporte público, comprender los principios de la teoría de colas proporciona información valiosa para optimizar estos sistemas y mejorar la satisfacción del usuario. En algún momento, todos nos veremos involucrados en algún aspecto de las colas. Lo que algunos pueden considerar un inconveniente podría ser el método más eficaz. La teoría de colas, una disciplina con raíces en las matemáticas aplicadas y la informática, es un campo dedicado al estudio y análisis de las colas, o filas de espera, y sus implicaciones en una amplia gama de aplicaciones. Este marco teórico ha demostrado ser fundamental para comprender y optimizar la eficiencia de los sistemas caracterizados por la presencia de colas. El estudio de las colas es esencial en contextos como los sistemas de tráfico, las redes informáticas, las telecomunicaciones y las operaciones de servicios.

La teoría de colas profundiza en diversos conceptos fundamentales, siendo el proceso de llegada y el proceso de servicio los centrales. El proceso de llegada describe la manera en que las entidades se unen a la cola a lo largo del tiempo, a menudo modelado mediante procesos estocásticos como los procesos de Poisson. La eficiencia de los sistemas de colas se evalúa mediante métricas clave de rendimiento. Estas incluyen la longitud media de la cola, el tiempo medio de espera y el rendimiento del sistema. Estas métricas proporcionan información sobre la funcionalidad del sistema, guiando las decisiones destinadas a mejorar el rendimiento y reducir los tiempos de espera. [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Gross, Donald; Carl M. Harris (1998). Fundamentos de la teoría de colas . Wiley. ISBN 978-0-471-32812-4.En línea
  • Zukerman, Moshe (2013). Introducción a la teoría de colas y modelos de teletrafico estocástico (PDF) . arXiv : 1307.2968 .
  • Deitel, Harvey M. (1984) [1982]. Introducción a los sistemas operativos (primera edición revisada  ). Addison-Wesley. pág . 673. ISBN  978-0-201-14502-1.cap. 15, págs.  380–412
  • Gelenbe, Erol; Isi Mitrani (2010). Análisis y síntesis de sistemas informáticos . World Scientific, 2.ª edición. ISBN 978-1-908978-42-4.
  • Newell, Gordron F. (1 de junio de 1971). Aplicaciones de la teoría de colas . Chapman and Hall.
  • Leonard Kleinrock, Flujo de información en grandes redes de comunicación (MIT, Cambridge, 31 de mayo de 1961). Propuesta de tesis doctoral.
  • Leonard Kleinrock. Flujo de información en grandes redes de comunicación (Informe trimestral de progreso de RLE, julio de 1961).
  • Leonard Kleinrock. Redes de comunicación: flujo de mensajes estocástico y retardo (McGraw-Hill, Nueva York, 1964).
  • Kleinrock, Leonard (2 de enero de 1975). Sistemas de colas: Volumen I – Teoría . Nueva York: Wiley Interscience. 417 págs . ISBN  978-0-471-49110-1.
  • Kleinrock, Leonard (22 de abril de 1976). Sistemas de colas: Volumen II – Aplicaciones informáticas . Nueva York: Wiley Interscience. pp . 576. ISBN  978-0-471-49111-8.
  • Lazowska, Edward D.; John Zahorjan; G. Scott Graham; Kenneth C. Sevcik (1984). Rendimiento cuantitativo de sistemas: análisis de sistemas informáticos mediante modelos de redes de colas . Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-746975-8.
  • Jon Kleinberg; Éva Tardos (30 de junio de 2013). Diseño de algoritmos . Pearson. ISBN 978-1-292-02394-6.
  • Tutorial y calculadoras de Teknomo sobre teoría de colas
  • Curso de teoría de colas de Virtamo
  • Página de Myron Hlynka sobre la teoría de colas
  • LINE: un motor de propósito general para resolver modelos de colas.
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