Ortante

En geometría , un ortante ^[1] o hiperoctante ^[2] es el análogo en el espacio euclidiano n -dimensional de un cuadrante en el plano o un octante en tres dimensiones.

En general, un ortante en n dimensiones puede considerarse la intersección de n semiespacios mutuamente ortogonales . Mediante selecciones independientes de signos de semiespacios, hay 2 ⁿ ortantes en un espacio n -dimensional.

Más específicamente, un ortante cerrado en R ⁿ es un subconjunto definido al restringir cada coordenada cartesiana a no negativa o no positiva. Un subconjunto de este tipo se define mediante un sistema de desigualdades:

ε ₁x ₁ ≥ 0 ε ₂x ₂ ≥ 0 · · · ε _n x _n ≥ 0,

donde cada ε _i es +1 o −1.

De manera similar, un ortante abierto en R ⁿ es un subconjunto definido por un sistema de desigualdades estrictas.

ε ₁x ₁ > 0 ε ₂x ₂ > 0 · · · ε _n x _n > 0,

donde cada ε _i es +1 o −1.

Por dimensión:

En una dimensión, un ortante es un rayo .
En dos dimensiones, un ortante es un cuadrante .
En tres dimensiones, un ortante es un octante .

John Conway y Neil Sloane definieron el término n - ortoplex a partir de complejo ortante como un politopo regular en n -dimensiones con 2 ⁿ facetas simplex , una por ortante. ^[3]

El ortante no negativo es la generalización del primer cuadrante a n dimensiones y es importante en muchos problemas de optimización restringida .

Véase también

Politopo cruzado (u ortoplex): una familia de politopos regulares en n dimensiones que pueden construirse con una faceta simple en cada espacio ortante.
Politopo de medida (o hipercubo): una familia de politopos regulares en n dimensiones que pueden construirse con un vértice en cada espacio ortante.
Ortótopo : generalización de un rectángulo en n dimensiones, con un vértice en cada ortante.

Referencias

^ Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.
^ Weisstein, Eric W. "Hiperoctante". MathWorld .
^ Conway, JH; Sloane, NJA (1991). "Las estructuras celulares de ciertas redes". En Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (eds.). Miscellanea Mathematica . Berlín: Springer. págs. 89-90. doi :10.1007/978-3-642-76709-8_5. ISBN 978-3-642-76711-1.

Lectura adicional

Los hechos en el expediente: Manual de geometría , Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4 , p.113

[1] Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.

[2] Weisstein, Eric W. "Hiperoctante". MathWorld .

[3] Conway, JH; Sloane, NJA (1991). "Las estructuras celulares de ciertas redes". En Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (eds.). Miscellanea Mathematica . Berlín: Springer. págs. 89-90. doi :10.1007/978-3-642-76709-8_5. ISBN 978-3-642-76711-1.