Red BCMP

En la teoría de colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , una red BCMP es una clase de red de colas para la cual existe una distribución de equilibrio en forma de producto . Recibe su nombre de los autores del artículo donde se describió por primera vez: Baskett , Chandy , Muntz y Palacios. El teorema es una extensión significativa de una red de Jackson que permite distribuciones de enrutamiento de clientes y tiempos de servicio prácticamente arbitrarias, sujetas a disciplinas de servicio particulares. ^{[ 1 ]}

El artículo es bien conocido, y el teorema fue descrito en 1990 como "uno de los logros fundamentales en la teoría de colas en los últimos 20 años" por J. Michael Harrison y Ruth J. Williams . ^{[ 2 ]}

Una red de m colas interconectadas se conoce como red BCMP si cada una de las colas es de uno de los siguientes cuatro tipos:

1. Disciplina FCFS donde todos los clientes tienen la misma distribución exponencial negativa del tiempo de servicio. La tasa de servicio puede depender del estado, así que escriba${\displaystyle \scriptstyle {\mu _{j}}}$para la tasa de servicio cuando la longitud de la cola es j .
2. Colas de compartición de procesador
3. Colas de servidores infinitos
4. LCFS con reanudación preventiva (el trabajo no se pierde)

En los últimos tres casos, las distribuciones del tiempo de servicio deben tener transformadas de Laplace racionales . Esto significa que la transformada de Laplace debe tener la forma ^{[ 3 ].}

${\displaystyle L(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

Además, deben cumplirse las siguientes condiciones.

1. Las llegadas externas al nodo i (si las hay) forman un proceso de Poisson ,
2. Un cliente que finaliza su servicio en la cola i pasará a una nueva cola j con una probabilidad (fija) determinada.${\displaystyle P_{ij}}$o abandonar el sistema con probabilidad${\displaystyle 1-\sum _{j=1}^{m}P_{ij}}$, que es distinto de cero para algún subconjunto de las colas.

Para una red BCMP de m colas que es abierta, cerrada o mixta en la que cada cola es de tipo 1, 2, 3 o 4, las probabilidades del estado de equilibrio vienen dadas por

${\displaystyle \pi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=C\pi _{1}(x_{1})\pi _{2}(x_{2})\cdots \pi _{m}(x_{m}),}$

donde C es una constante de normalización elegida para que las probabilidades del estado de equilibrio sumen 1 y${\displaystyle \scriptstyle {\pi _{i}(\cdot )}}$representa la distribución de equilibrio para la cola i .