Método analítico matricial

En teoría de la probabilidad , el método analítico matricial es una técnica para calcular la distribución de probabilidad estacionaria de una cadena de Markov que tiene una estructura repetitiva (después de cierto punto) y un espacio de estados que crece ilimitadamente en no más de una dimensión. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Estos modelos se describen a menudo como cadenas de Markov de tipo M/G/1 porque pueden describir transiciones en una cola M/G/1. ^{[ 3 ] [ 4 ]} El método es una versión más compleja del método geométrico matricial y es el método de solución clásico para cadenas M/G/1. ^{[ 5 ]}

Una matriz estocástica de tipo M/G/1 es una de las formas ^{[ 3 ].}

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}&\cdots \\A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\&A_{0}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\&&A_{0}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

donde B _i y A _i son matrices k  × k . (Nótese que las entradas de la matriz sin marcar representan ceros). Dicha matriz describe la cadena de Markov incrustada en una cola M/G/1. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Si P es irreducible y recurrente positiva , entonces la distribución estacionaria viene dada por la solución de las ecuaciones ^{[ 3 ]} 

${\displaystyle P\pi =\pi \quad {\text{ y }}\quad \mathbf {e} ^{\text{T}}\pi =1}$

donde e representa un vector de dimensión adecuada con todos los valores iguales a 1. Coincidiendo con la estructura de P , π se particiona en π ₁ , π ₂ , π ₃ , …. Para calcular estas probabilidades se calcula la matriz estocástica de columna G de tal manera que ^{[ 3 ]}

${\displaystyle G=\sum _{i=0}^{\infty }G^{i}A_{i}.}$

G se denomina matriz auxiliar. ^{[ 8 ]} Las matrices se definen ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A}}_{i+1}&=\sum _{j=i+1}^{\infty }G^{ji-1}A_{j}\\{\overline {B}}_{i}&=\sum _{j=i}^{\infty }G^{ji}B_{j}\end{aligned}}}$

entonces π ₀ se encuentra resolviendo ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {B}}_{0}\pi _{0}&=\pi _{0}\\\quad \left(\mathbf {e} ^{\text{T}}+\mathbf {e} ^{\text{T}}\left(I-\sum _{i=1}^{\infty }{\overline {A}}_{i}\right)^{-1}\sum _{i=1}^{\infty }{\overline {B}}_{i}\right)\pi _{0}&=1\end{aligned}}}$

y los π _i vienen dados por la fórmula de Ramaswami , ^{[ 3 ]} una relación numéricamente estable publicada por primera vez por Vaidyanathan Ramaswami en 1988. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \pi _{i}=(I-{\overline {A}}_{1})^{-1}\left[{\overline {B}}_{i+1}\pi _{0}+\sum _{j=1}^{i-1}{\overline {A}}_{i+1-j}\pi _{j}\right],i\geq 1.}$

Hay dos métodos iterativos populares para calcular G , ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• iteraciones funcionales
• reducción cíclica .

• MAMSolver ^{[ 12 ]}