método geométrico matricial

En teoría de la probabilidad , el método geométrico matricial es un método para el análisis de procesos cuasi-nacimiento-muerte , cadenas de Markov de tiempo continuo cuya matriz de tasas de transición tiene una estructura de bloques repetitiva. ^{[ 1 ]} El método fue desarrollado "principalmente por Marcel F. Neuts y sus estudiantes a partir de 1975 aproximadamente". ^{[ 2 ]}

El método requiere una matriz de tasas de transición con una estructura de bloques tridiagonal como se muestra a continuación.

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}}$

donde cada una de B ₀₀ , B ₀₁ , B ₁₀ , A ₀ , A ₁ y A ₂ son matrices. Para calcular la distribución estacionaria π escribiendo π Q = 0 se consideran las ecuaciones de balance para los subvectores π _i   

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}}$

Observa que la relación

${\displaystyle \pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}}$

donde R es la matriz de tasas de Neuts, ^{[ 3 ]} que se puede calcular numéricamente. Usando esto escribimos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

que se puede resolver para encontrar π ₀ y π ₁ y por lo tanto iterativamente todos los π _i .

La matriz R se puede calcular utilizando reducción cíclica ^{[ 4 ]} o reducción logarítmica. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

El método analítico matricial es una versión más compleja del método de solución geométrica matricial utilizado para analizar modelos con matrices de bloques M/G/1 . ^{[ 7 ]} Estos modelos son más difíciles porque no se cumple ninguna relación como π _i  = π ₁ R ^{i – 1} utilizada anteriormente. ^{[ 8 ]}    

• Modelado del rendimiento y cadenas de Markov (parte 2) por William J. Stewart en la 7ª Escuela Internacional sobre Métodos Formales para el Diseño de Sistemas Informáticos, de Comunicación y de Software: Evaluación del Rendimiento