Matriz de tasa de transición

En teoría de probabilidad , una matriz de tasa de transición (también conocida como matriz Q , ^[1] matriz de intensidad , ^[2] o matriz generadora infinitesimal ^[3] ) es una matriz de números que describe la tasa instantánea a la que una cadena de Markov de tiempo continuo realiza la transición entre estados.

En una matriz de velocidad de transición (a veces escrita ^[4] ), el elemento (para ) denota la velocidad de salida y llegada del estado . Las velocidades , y los elementos diagonales se definen de manera que ${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización A}$$estilo de visualización q_ {ij}}$${\displaystyle i\neq j}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización j}$${\displaystyle q_{ij}\geq 0}$$estilo de visualización q_ {ii}}$

${\displaystyle q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}}$,

y por lo tanto las filas de la matriz suman cero.

Hasta un signo global, una amplia clase de ejemplos de tales matrices la proporciona el laplaciano de un grafo dirigido y ponderado . Los vértices del grafo corresponden a los estados de la cadena de Markov.

La matriz de tasa de transición tiene las siguientes propiedades: ^[5]

• Hay al menos un vector propio con un valor propio que se desvanece, exactamente uno si el gráfico de está fuertemente conexo.${\displaystyle Q}$
• Todos los demás valores propios cumplen .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 0>\mathrm {Re} \{\lambda \}\geq 2\min _{i}q_{ii}}$
• Todos los vectores propios con un valor propio distinto de cero cumplen .${\displaystyle v}$${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$
• La matriz de tasa de transición satisface la relación donde P(t) es la matriz estocástica continua .${\displaystyle Q=P'(0)}$

Una cola M/M/1 , un modelo que cuenta la cantidad de trabajos en un sistema de colas con llegadas a una tasa λ y servicios a una tasa μ, tiene una matriz de tasa de transición

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\ddots &\\&&&\ddots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

• Matriz estocástica

• Norris, JR (1997). Cadenas de Markov . doi :10.1017/CBO9780511810633.005. ISBN 9780511810633.
• Suhov, Yuri; Kelbert, Mark (2008). Cadenas de Markov: una introducción a los procesos aleatorios y sus aplicaciones . Cambridge University Press.
• Syski, R. (1992). Tiempos de paso para cadenas de Markov. IOS Press. ISBN 90-5199-060-X.