Proceso de difusión

En teoría de la probabilidad y estadística , los procesos de difusión son una clase de procesos de Markov de tiempo continuo con trayectorias de muestra casi seguramente continuas . Los procesos de difusión son estocásticos por naturaleza y, por lo tanto, se utilizan para modelar muchos sistemas estocásticos de la vida real. El movimiento browniano , el movimiento browniano reflejado y los procesos de Ornstein-Uhlenbeck son ejemplos de procesos de difusión. Se utilizan ampliamente en física estadística , análisis estadístico , teoría de la información , ciencia de datos , redes neuronales , finanzas y marketing .

Un modelo de trayectoria de difusión representa la trayectoria de una partícula incrustada en un fluido en movimiento y sometida a desplazamientos aleatorios debido a colisiones con otras partículas, lo que se conoce como movimiento browniano . La posición de la partícula es entonces aleatoria; su función de densidad de probabilidad en función del espacio y el tiempo se rige por una ecuación de convección-difusión .

Un proceso de difusión es un proceso de Markov con trayectorias de muestra continuas para el cual la ecuación directa de Kolmogorov es la ecuación de Fokker-Planck . ^{[ 1 ]}

Un proceso de difusión se define por las siguientes propiedades. Sea${\displaystyle a^{ij}(x,t)}$sean coeficientes uniformemente continuos y${\displaystyle b^{i}(x,t)}$ser acotado, términos de deriva medibles de Borel. Hay una familia única de medidas de probabilidad${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$(para${\displaystyle \tau \geq 0}$,${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$) en el espacio canónico${\displaystyle \Omega =C([0,\infty ),\mathbb {R} ^{d})}$, con su Borel${\displaystyle \sigma }$-álgebra, tal que:

1. (Condición inicial) El proceso comienza en${\displaystyle \xi }$en ese momento${\displaystyle \tau }$:${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }[\psi \in \Omega$ :\psi (t)=\xi {\text{ para }}0\leq t\leq \tau ]=1.}

2. (Propiedad Martingala Local) Por cada${\displaystyle f\in C^{2,1}(\mathbb {R} ^{d}\times [\tau ,\infty ))}$, el proceso

${\displaystyle M_{t}^{[f]}=f(\psi (t),t)-f(\psi (\tau ),\tau )-\int _{\tau }^{t}{\bigl (}L_{a;b}+{\tfrac {\partial }{\partial s}}{\bigr )}f(\psi (s),s)\,ds}$ es una martingala local bajo${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$para${\displaystyle t\geq \tau }$, con${\displaystyle M_{t}^{[f]}=0}$para${\displaystyle t\leq \tau }$.

Esta familia${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$se llama el${\displaystyle {\mathcal {L}}_{a;b}}$-difusión.

Está claro que si tenemos un${\displaystyle {\mathcal {L}}_{a;b}}$-difusión, es decir${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$en${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau })}$, entonces${\displaystyle X_{t}}$satisface el SDE${\displaystyle dX_{t}^{i}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{d}\sigma _{k}^{i}(X_{t})\,dB_{t}^{k}+b^{i}(X_{t})\,dt}$. Por el contrario, se puede construir esta difusión a partir de esa EDE si${\displaystyle a^{ij}(x,t)=\sum _{k}\sigma _{i}^{k}(x,t)\,\sigma _{j}^{k}(x,t)}$y${\displaystyle \sigma ^{ij}(x,t)}$,${\displaystyle b^{i}(x,t)}$son Lipschitz continuas. Para ver esto, dejemos${\displaystyle X_{t}}$Resuelva la EDE comenzando en${\displaystyle X_{\tau }=\xi }$. Para${\displaystyle f\in C^{2,1}(\mathbb {R} ^{d}\times [\tau ,\infty ))}$, aplica la fórmula de Itô:${\displaystyle df(X_{t},t)={\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}b^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+v\sum _{i,j=1}^{d}a^{ij}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\bigr )}\,dt+\sum _{i,k=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\sigma _{k}^{i}\,dB_{t}^{k}.}$Reorganizar da${\displaystyle f(X_{t},t)-f(X_{\tau },\tau )-\int _{\tau }^{t}{\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial s}}+L_{a;b}f{\bigr )}\,ds=\int _{\tau }^{t}\sum _{i,k=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\sigma _{k}^{i}\,dB_{s}^{k},}$cuyo lado derecho es una martingala local, que coincide con la propiedad de martingala local en la definición de difusión. La ley de${\displaystyle X_{t}}$define${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$en${\displaystyle \Omega =C([0,\infty ),\mathbb {R} ^{d})}$con la condición inicial correcta y la propiedad de martingala local. La unicidad se deriva de la continuidad de Lipschitz de${\displaystyle \sigma \!,\!b}$. De hecho,${\displaystyle L_{a;b}+{\tfrac {\partial }{\partial s}}}$coincide con el generador infinitesimal${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de este proceso. Si${\displaystyle X_{t}}$resuelve la EDE, luego para${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{+})}$, el generador${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es${\displaystyle {\mathcal {A}}f(\mathbf {x} ,t)=\sum _{i=1}^{d}b_{i}(\mathbf {x} ,t)\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+v\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}(\mathbf {x} ,t)\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$

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