Proceso continuo de muestreo

En matemáticas , un proceso continuo de muestra es un proceso estocástico cuyas trayectorias de muestra son funciones continuas casi con seguridad .

Sea ( Ω , Σ , P ) un espacio de probabilidad . Sea X : I × Ω → S un proceso estocástico, donde el conjunto de índices I y el espacio de estados S son ambos espacios topológicos . Entonces el proceso X se llama continuo en la muestra (o casi seguramente continuo , o simplemente continuo ) si la aplicación X ( ω ) : I → S es continua como función de espacios topológicos para P - casi todo ω en Ω .            

En muchos ejemplos, el conjunto de índices I es un intervalo de tiempo, [0, T ] o [0, + ∞ ), y el espacio de estados S es la recta real o el espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ .  

• El movimiento browniano (el proceso de Wiener ) en el espacio euclidiano es continuo respecto a la muestra.
• Para parámetros "agradables" de las ecuaciones, las soluciones de las ecuaciones diferenciales estocásticas son continuas en la muestra. Consulte el teorema de existencia y unicidad en el artículo sobre ecuaciones diferenciales estocásticas para conocer algunas condiciones suficientes que garanticen la continuidad de la muestra.
• El proceso X  :  [0,  + ∞ ) × Ω → R que realiza saltos equiprobables hacia arriba o hacia abajo cada unidad de tiempo según    

${\displaystyle {\begin{cases}X_{t}\sim \mathrm {Unif} (\{X_{t-1}-1,X_{t-1}+1\}),&t{\mbox{ un entero;}}\\X_{t}=X_{\lfloor t\rfloor },&t{\mbox{ no un entero;}}\end{cases}}}$

no es continua respecto a la muestra. De hecho, es claramente discontinua.

• Para procesos continuos de muestreo, las distribuciones de dimensión finita determinan la ley , y viceversa.

• proceso estocástico continuo

• Kloeden, Peter E .; Platina, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 23. Berlín: Springer-Verlag. págs. 38 y 39. ISBN  3-540-54062-8.