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Articulo de referencia

proceso estocástico continuo

En teoría de la probabilidad , un proceso estocástico continuo es un tipo de proceso estocástico que puede considerarse " continuo " en función de su parámetro de "tiempo" o índ...

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En teoría de la probabilidad , un proceso estocástico continuo es un tipo de proceso estocástico que puede considerarse " continuo " en función de su parámetro de "tiempo" o índice. La continuidad es una propiedad deseable para las trayectorias de muestra de un proceso, ya que implica que se comportan correctamente en cierto sentido y, por lo tanto, son mucho más fáciles de analizar. Aquí se sobreentiende que el índice del proceso estocástico es una variable continua. Algunos autores [ 1 ] definen un "proceso (estocástico) continuo" como aquel que solo requiere que la variable índice sea continua, sin continuidad en las trayectorias de muestra: en otra terminología, esto sería un proceso estocástico de tiempo continuo , en paralelo a un "proceso de tiempo discreto". Dada la posible confusión, se requiere precaución. [ 1 ]

Definiciones

Sea (Ω,  Σ, P ) un espacio de probabilidad , sea T un intervalo de tiempo y sea X : T × Ω → S un proceso estocástico. Para simplificar, en el resto de este artículo se considerará que el espacio de estados S es la recta real R , pero las definiciones se aplican mutatis mutandis si S es R n , un espacio vectorial normado o incluso un espacio métrico general .       

Continuidad casi con seguridad

Dado un tiempo t  ∈ T , se dice que X es continua con probabilidad uno en t si 

PAG({ω∈Ω|límites→t|incógnitas(ω)−incógnitat(ω)|=0})=1.{\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1.}

Continuidad cuadrática media

Dado un tiempo t  ∈ T , se dice que X es continua en media cuadrática en t si E [| X t | 2 ] < +∞ y   

límites→tmi[|incógnitas−incógnitat|2]=0.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.}

Continuidad en probabilidad

Dado un tiempo t  ∈ T , se dice que X es continua en probabilidad en t si, para todo ε > 0,   

límites→tPAG({ω∈Ω||incógnitas(ω)−incógnitat(ω)|≥ε})=0.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0.}

o equivalentemente

límites→tPAG({ω∈Ω||incógnitas(ω)−incógnitat(ω)|<ε})=1.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}<\varepsilon \right.\right\}\right)=1.}

También es equivalente que X sea continua en probabilidad en el tiempo t si

límites→tmi[|incógnitas−incógnitat|1+|incógnitas−incógnitat|]=0.{\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}

Continuidad en la distribución

Dado un tiempo t  ∈ T , se dice que X es continua en distribución en t si 

límites→tFs(incógnita)=Ft(incógnita){\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}

para todos los puntos x en los que F t es continua, donde F t denota la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X t .

Continuidad de la muestra

Se dice que X es continua respecto de la muestra si X t ( ω ) es continua en t para P - casi todo ω  ∈  Ω. La continuidad de la muestra es la noción apropiada de continuidad para procesos como las difusiones de Itō .

Continuidad de Feller

Se dice que X es un proceso continuo de Feller si, para cualquier t  ∈ T fijo y cualquier función g : S → R acotada , continua y medible Σ , E x [ g ( X t )] depende continuamente de x . Aquí x denota el estado inicial del proceso X , y E x denota la esperanza condicionada al evento de que X comience en x .     

Relaciones

Las relaciones entre los distintos tipos de continuidad de los procesos estocásticos son similares a las relaciones entre los distintos tipos de convergencia de las variables aleatorias . En particular:

  • La continuidad con probabilidad uno implica continuidad en la probabilidad;
  • La continuidad en la media cuadrática implica continuidad en la probabilidad;
  • La continuidad con probabilidad uno no implica, ni está implicada por, la continuidad en media cuadrática;
  • La continuidad en la probabilidad implica, pero no está implicada por, la continuidad en la distribución.

Es tentador confundir la continuidad con probabilidad uno con la continuidad de la muestra. La continuidad con probabilidad uno en el tiempo t significa que P ( A t )  =  0, donde el evento A t está dado por

At={ω∈Ω|límites→t|incógnitas(ω)−incógnitat(ω)|≠0},{\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}

y es perfectamente factible comprobar si esto se cumple o no para cada t  ∈ T. Por otro lado, la continuidad de la muestra requiere que P ( A ) = 0, donde   

A=⋃t∈TAt.{\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}

A es una unión no contable de eventos, por lo que en realidad puede que no sea un evento en sí mismo, ¡por lo que P ( A ) puede ser indefinido! Peor aún, incluso si A es un evento, P ( A ) puede ser estrictamente positivo incluso si P ( A t ) = 0 para todo t ∈ T. Este es el caso, por ejemplo, con el proceso del telégrafo .    

Notas

  1. 1 2 Dodge, Y. (2006) The Oxford Dictionary of Statistical Terms , OUP. ISBN 0-19-920613-9(Entrada para "proceso continuo")

Referencias

  • Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 23. Berlín: Springer-Verlag. págs. 38 y 39. ISBN  3-540-54062-8.
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta  ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Véase el lema 8.1.4)
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