Proceso telegráfico

En teoría de la probabilidad , el proceso telegráfico es un proceso estocástico de tiempo continuo sin memoria que muestra dos valores distintos. Modela el ruido de ráfaga (también llamado ruido de palomitas de maíz o señal telegráfica aleatoria). Si los dos posibles valores que puede tomar una variable aleatoria son${\displaystyle c_{1}}$y${\displaystyle c_{2}}$Entonces, el proceso puede describirse mediante las siguientes ecuaciones maestras :

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

y

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0}).}$

dónde${\displaystyle \lambda _{1}}$es la tasa de transición para pasar del estado${\displaystyle c_{1}}$para declarar${\displaystyle c_{2}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$es la tasa de transición para pasar de un estado a otro${\displaystyle c_{2}}$para declarar${\displaystyle c_{1}}$El proceso también se conoce con los nombres de proceso de Kac (en honor al matemático Mark Kac ), ^{[ 1 ]} y proceso aleatorio dicotómico . ^{[ 2 ]}

La ecuación maestra se escribe de forma compacta en forma matricial introduciendo un vector.${\displaystyle \mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]}$,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P} }$

dónde

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

es la matriz de tasas de transición . La solución formal se construye a partir de la condición inicial.${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$(que define eso en${\displaystyle t=t_{0}}$, el estado es${\displaystyle x}$) por

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)}$.

Se puede demostrar que ^{[ 3 ]}

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}}$

dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad y${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2}$es la tasa de transición promedio. Como${\displaystyle t\rightarrow \infty }$La solución se aproxima a una distribución estacionaria.${\displaystyle \mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}}$dado por

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}}$

El conocimiento de un estado inicial decae exponencialmente . Por lo tanto, durante un tiempo${\displaystyle t\gg (2\lambda )^{-1}}$, el proceso alcanzará los siguientes valores estacionarios, denotados por el subíndice s :

Significar:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Diferencia:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.}$

También se puede calcular una función de correlación :

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |tu|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

Este proceso aleatorio encuentra una amplia aplicación en la construcción de modelos:

• En física , los sistemas de espín y la intermitencia de la fluorescencia presentan propiedades dicotómicas. Sin embargo, especialmente en experimentos con moléculas individuales, se utilizan distribuciones de probabilidad con colas algebraicas en lugar de la distribución exponencial implícita en todas las fórmulas anteriores.
• En finanzas para describir los precios de las acciones ^{[ 1 ]}
• En biología , se utiliza para describir la unión y disociación de factores de transcripción .

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