Patológico (matemáticas)

En matemáticas , cuando un fenómeno matemático contradice alguna intuición, a veces se lo llama patológico . Por otro lado, si un fenómeno no contradice la intuición, a veces se lo llama bien comportado o agradable . Estos términos a veces son útiles en la investigación y la enseñanza de las matemáticas, pero no existe una definición matemática estricta de patológico o de buen comportamiento. ^[1]

Un ejemplo clásico de patología es la función de Weierstrass , una función que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. ^{[1] La suma de una} función diferenciable y la función de Weierstrass es nuevamente continua pero no diferenciable en ninguna parte; por lo tanto, hay al menos tantas funciones de este tipo como funciones diferenciables. De hecho, utilizando el teorema de la categoría de Baire , se puede demostrar que las funciones continuas no son genéricamente diferenciables en ninguna parte. ^[2]

Estos ejemplos se consideraron patológicos cuando se descubrieron por primera vez. Para citar a Henri Poincaré : ^[3]

La lógica a veces engendra monstruos. Desde hace medio siglo, han surgido multitud de funciones extrañas que parecen esforzarse por parecerse lo menos posible a funciones honestas que tienen alguna utilidad. No más continuidad, o bien continuidad pero sin derivadas, etc. Más aún, desde el punto de vista de la lógica, son estas funciones extrañas las más generales; las que se encuentran sin que se las busque ya no aparecen como algo más que un caso particular y sólo les queda un pequeño rincón.

Antiguamente, cuando se inventaba una nueva función, se hacía con vistas a algún fin práctico. Hoy se inventan con el propósito de demostrar que los razonamientos de nuestros antepasados ​​eran erróneos, y nunca sacaremos de ellas nada más que eso.

Si la lógica fuera la única guía del profesor, éste tendría que empezar por las funciones más generales, es decir, por las más extrañas. Tendría que poner al principiante a luchar con esta colección de monstruosidades. Si no se hace así, podrían decir los lógicos, sólo se alcanzará la exactitud por etapas.

—  Henri Poincaré , Ciencia y método (1899), (traducción de 1914), página 125

Desde Poincaré, en ningún otro lugar se ha demostrado que aparezcan funciones diferenciables en procesos físicos y biológicos básicos como el movimiento browniano y en aplicaciones como el modelo de Black-Scholes en finanzas.

Contraejemplos en el análisis es un libro completo de este tipo de contraejemplos. ^[4]

Otro ejemplo de función patológica es la función continua de Du-Bois Reymond , que no puede representarse como una serie de Fourier . ^[5]

Las elecciones en las que los sistemas de votación muestran un comportamiento contraintuitivo o indeseable suelen calificarse de patológicas. El efecto saboteador es un ejemplo bien conocido de patología electoral, porque los resultados de una contienda entre los candidatos A y B dependen paradójicamente del comportamiento o la calidad de otro candidato C.

Las preferencias o votos en una elección también pueden considerarse patológicos si los votantes muestran preferencias inusuales con resultados contraintuitivos. La situación más notable de este tipo es la paradoja de la votación , en la que las preferencias de un grupo, agregadas mediante una serie de votos mayoritarios, darán lugar a una contradicción interna. Alternativamente, puede haber una configuración de tiranía de la mayoría ; en tales situaciones, los ganadores socialmente óptimos y los que gobiernan la mayoría pueden entrar en conflicto entre sí, obligando al sistema electoral a elegir entre la voluntad de la mayoría y los derechos de una minoría. En la práctica, sin embargo, la mayoría de los resultados electorales patológicos no surgen de esas elecciones "forzadas", sino más bien de sistemas electorales mal diseñados.

La votación por orden de preferencia (el voto único transferible ) se describe a menudo como una función de elección social inusualmente patológica , debido a su tendencia a eliminar a los candidatos preferidos por la mayoría por ganar demasiados votos . ^{[6] [7] [8]}

Un contraejemplo famoso en topología es la esfera con cuernos de Alexander , que muestra que la incrustación topológica de la esfera S ² en R ³ puede no lograr separar el espacio de manera limpia. Como contraejemplo, motivó a los matemáticos a definir la propiedad de mansedumbre , que suprime el tipo de comportamiento salvaje exhibido por la esfera con cuernos, el nudo salvaje y otros ejemplos similares. ^[9]

Como muchas otras patologías, la esfera con cuernos juega en cierto sentido con una estructura infinitamente fina, generada recursivamente, que en el límite viola la intuición ordinaria. En este caso, la topología de una cadena siempre descendente de bucles entrelazados de piezas continuas de la esfera en el límite refleja plenamente la de la esfera común, y uno esperaría que el exterior de esta, después de una incrustación, funcionara de la misma manera. Sin embargo, no es así: no logra estar simplemente conectada .

Para la teoría subyacente, véase el teorema de Jordan-Schönflies .

Contraejemplos en topología es un libro completo de este tipo de contraejemplos. ^[10]

Los matemáticos (y los que se dedican a ciencias relacionadas) hablan con mucha frecuencia de si un objeto matemático (una función , un conjunto , un espacio de un tipo u otro) se "comporta bien" . Si bien el término no tiene una definición formal fija, generalmente se refiere a la cualidad de satisfacer una lista de condiciones prevalecientes, que pueden depender del contexto, los intereses matemáticos, la moda y el gusto. Para garantizar que un objeto se "comporte bien", los matemáticos introducen más axiomas para limitar el dominio de estudio. Esto tiene el beneficio de facilitar el análisis, pero produce una pérdida de generalidad de las conclusiones alcanzadas.

Tanto en matemáticas puras como aplicadas (por ejemplo, optimización , integración numérica , física matemática ), buen comportamiento también significa no violar ninguna suposición necesaria para aplicar con éxito cualquier análisis que se esté discutiendo.

El caso opuesto suele calificarse de "patológico". No es raro que haya situaciones en las que la mayoría de los casos (en términos de cardinalidad o medida ) sean patológicos, pero los casos patológicos no se presenten en la práctica, a menos que se construyan deliberadamente.

El término "buena conducta" se aplica generalmente en un sentido absoluto: algo se comporta bien o no. Por ejemplo:

• En la inferencia algorítmica , una estadística bien comportada es monótona, bien definida y suficiente .
• En el teorema de Bézout , dos polinomios se comportan bien y, por lo tanto, la fórmula dada por el teorema para el número de sus intersecciones es válida, si su máximo común divisor polinomial es una constante.
• Una función meromórfica es una relación de dos funciones con buen comportamiento, en el sentido de que esas dos funciones son holomorfas .
• Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son condiciones necesarias de primer orden para que una solución en un problema de programación no lineal de buen comportamiento sea óptima; un problema se considera de buen comportamiento si se cumplen algunas condiciones de regularidad.
• En probabilidad , los eventos contenidos en el álgebra sigma correspondiente del espacio de probabilidad se comportan bien, al igual que las funciones mensurables .

Curiosamente, el término también podría aplicarse en sentido comparativo:

• En cálculo :
  • Las funciones analíticas se comportan mejor que las funciones generales suaves .
  • Las funciones suaves se comportan mejor que las funciones diferenciables generales.
  • Las funciones continuas diferenciables se comportan mejor que las funciones continuas generales. Cuanto mayor sea el número de veces que se pueda diferenciar la función, mejor se comportará.
  • Las funciones continuas se comportan mejor que las funciones integrables de Riemann en conjuntos compactos.
  • Las funciones integrables de Riemann se comportan mejor que las funciones integrables de Lebesgue .
  • Las funciones integrables de Lebesgue se comportan mejor que las funciones generales.
• En topología , las funciones continuas se comportan mejor que las discontinuas.
  • El espacio euclidiano se comporta mejor que la geometría no euclidiana .
  • Los puntos fijos atractivos se comportan mejor que los puntos fijos repulsivos.
  • Las topologías de Hausdorff se comportan mejor que aquellas de topología general arbitraria .
  • Los conjuntos de Borel se comportan mejor que los conjuntos arbitrarios de números reales .
  • Los espacios con dimensión entera se comportan mejor que los espacios con dimensión fractal .
• En álgebra abstracta :
  • Los grupos se comportan mejor que los magmas y los semigrupos .
  • Los grupos abelianos se comportan mejor que los grupos no abelianos.
  • Los grupos abelianos finitamente generados se comportan mejor que los grupos abelianos no finitamente generados.
  • Los espacios vectoriales de dimensión finita se comportan mejor que los de dimensión infinita .
  • Los campos se comportan mejor que los campos sesgados o los anillos generales .
  • Las extensiones de campo separables se comportan mejor que las no separables.
  • Las álgebras de división normadas se comportan mejor que las álgebras de composición general.

Los ejemplos patológicos suelen tener algunas propiedades indeseables o inusuales que dificultan su inclusión o explicación en una teoría. Estas conductas patológicas suelen dar lugar a nuevas investigaciones que conducen a nuevas teorías y resultados más generales. Algunos ejemplos históricos importantes de esto son:

• La votación por orden de preferencia se describe comúnmente como una función de elección social patológica , debido a su tendencia a eliminar candidatos por ganar demasiados votos . ^[6]
• El descubrimiento de los números irracionales por la escuela de Pitágoras en la antigua Grecia; por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario , es decir .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• El descubrimiento de los números complejos en el siglo XVI para encontrar las raíces de funciones polinómicas cúbicas y cuárticas .
• Algunos campos numéricos tienen anillos de números enteros que no forman un dominio de factorización único , por ejemplo, el campo extendido .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$
• El descubrimiento de los fractales y otros objetos geométricos "rugosos" (véase dimensión de Hausdorff ).
• Función de Weierstrass , una función de valor real en la línea real , que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. ^[1]
• Funciones de prueba en el análisis real y la teoría de la distribución, que son funciones infinitamente diferenciables en la línea real que son 0 en todas partes fuera de un intervalo limitado dado . Un ejemplo de este tipo de función es la función de prueba,$${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$
• El conjunto de Cantor es un subconjunto del intervalo que tiene medida cero pero es incontable .${\displaystyle [0,1]}$
• El conjunto gordo de Cantor no es denso en ningún sentido, pero tiene una medida positiva .
• La función Fabius es suave en todas partes pero analítica en ninguna .
• La función de Volterra es diferenciable con derivada acotada en todas partes, pero la derivada no es integrable según Riemann .
• La curva de relleno de espacio de Peano es una función sobreyectiva continua que mapea el intervalo unitario en .${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$
• La función de Dirichlet , que es la función indicadora de los números racionales, es una función acotada que no es integrable según el método de Riemann .
• La función de Cantor es una función sobreyectiva continua monótona que se asigna a , pero tiene derivada cero casi en todos los lugares donde .${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$
• La función de signo de interrogación de Minkowski es continua y estrictamente creciente, pero tiene derivada cero casi en todas partes.
• Se pueden construir clases de satisfacción que contengan afirmaciones aritméticas "intuitivamente falsas" para modelos contables y recursivamente saturados de aritmética de Peano . ^{[ cita requerida ]}
• La curva de Osgood es una curva de Jordan (a diferencia de la mayoría de las curvas que llenan el espacio ) de área positiva .
• Una esfera exótica es homeomorfa pero no difeomorfa a la n-esfera euclidiana estándar .

En el momento de su descubrimiento, cada uno de estos se consideraba altamente patológico; hoy, cada uno de ellos ha sido asimilado a la teoría matemática moderna. Estos ejemplos incitan a sus observadores a corregir sus creencias o intuiciones, y en algunos casos requieren una reevaluación de las definiciones y conceptos fundamentales. A lo largo de la historia, han conducido a matemáticas más correctas, más precisas y más poderosas. Por ejemplo, la función de Dirichlet es integrable según el método de Lebesgue, y la convolución con funciones de prueba se utiliza para aproximar cualquier función localmente integrable mediante funciones suaves. ^{[Nota 1]}

Por definición, determinar si una conducta es patológica o no depende de la intuición personal. Las patologías dependen del contexto, la formación y la experiencia, y lo que es patológico para un investigador puede muy bien ser un comportamiento normal para otro.

Los ejemplos patológicos pueden mostrar la importancia de los supuestos de un teorema. Por ejemplo, en estadística , la distribución de Cauchy no satisface el teorema del límite central , aunque su forma de campana simétrica parece similar a muchas distribuciones que sí lo satisfacen; no cumple el requisito de tener una media y una desviación estándar que existan y sean finitas.

Algunas de las paradojas más conocidas , como la de Banach-Tarski y la de Hausdorff , se basan en la existencia de conjuntos no mensurables . Los matemáticos, a menos que adopten la posición minoritaria de negar el axioma de elección , en general se resignan a vivir con tales conjuntos. ^{[ cita requerida ]}

En informática , patológico tiene un sentido ligeramente diferente en relación con el estudio de algoritmos . Aquí, se dice que una entrada (o un conjunto de entradas) es patológica si provoca un comportamiento atípico del algoritmo, como una violación de su complejidad de caso promedio , o incluso de su corrección. Por ejemplo, las tablas hash generalmente tienen entradas patológicas: conjuntos de claves que colisionan en valores hash. Quicksort normalmente tiene complejidad temporal, pero se deteriora cuando se le proporciona una entrada que desencadena un comportamiento subóptimo. ${\displaystyle O(n\log {n})}$${\displaystyle O(n^{2})}$

El término se utiliza a menudo de forma peyorativa, como una forma de descartar dichas entradas por estar especialmente diseñadas para romper una rutina que, de otro modo, es sólida en la práctica (compárese con Byzantine ). Por otro lado, es importante estar al tanto de las entradas patológicas, ya que pueden explotarse para montar un ataque de denegación de servicio en un sistema informático. Además, el término en este sentido es una cuestión de juicio subjetivo, como en sus otros sentidos. Si se dispone de suficiente tiempo de ejecución, una comunidad de usuarios suficientemente grande y diversa (u otros factores), podría producirse una entrada que pueda descartarse como patológica (como se vio en el primer vuelo de prueba del Ariane 5 ).

Un fenómeno similar pero distinto es el de los objetos excepcionales (y los isomorfismos excepcionales ), que se produce cuando hay un número "pequeño" de excepciones a un patrón general (como un conjunto finito de excepciones a una regla que, de otro modo, sería infinita). Por el contrario, en los casos de patología, a menudo la mayoría o casi todos los casos de un fenómeno son patológicos (por ejemplo, casi todos los números reales son irracionales).

Subjetivamente, los objetos excepcionales (como el icosaedro o los grupos simples esporádicos ) se consideran generalmente "bellos", ejemplos inesperados de una teoría, mientras que los fenómenos patológicos suelen considerarse "feos", como lo indica su nombre. En consecuencia, las teorías suelen ampliarse para incluir objetos excepcionales. Por ejemplo, las álgebras de Lie excepcionales se incluyen en la teoría de las álgebras de Lie semisimples : los axiomas se consideran buenos, los objetos excepcionales, inesperados pero válidos.

Por el contrario, los ejemplos patológicos se toman para señalar una deficiencia en los axiomas, requiriendo axiomas más fuertes para descartarlos. Por ejemplo, exigir la docilidad de una incrustación de una esfera en el problema de Schönflies . En general, se puede estudiar la teoría más general, incluidas las patologías, que pueden proporcionar sus propias simplificaciones (los números reales tienen propiedades muy diferentes de los racionales, y de la misma manera las aplicaciones continuas tienen propiedades muy diferentes de las suaves), pero también la teoría más estrecha, de la que se extrajeron los ejemplos originales.

• Curva fractal
• Lista de jerga matemática
• El fenómeno de Runge
• Fenómeno de Gibbs
• Conjunto paradójico

• Estructuras patológicas y fractales: extracto de un artículo de Freeman Dyson , "Caracterización de la irregularidad", Science, mayo de 1978

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