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función de Dirichlet

En matemáticas , la función de Dirichlet [ 1 ] [ 2 ] es la función indicadora. 1 Q {\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }} del conjunto de números racionales Q {\displaystyl...

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En matemáticas , la función de Dirichlet [ 1 ] [ 2 ] es la función indicadora.1Q{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}del conjunto de números racionalesQ{\displaystyle \mathbb {Q} }sobre el conjunto de números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }, es decir1Q(incógnita)=1{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1}para un número real x si x es un número racional y1Q(incógnita)=0{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0}si x no es un número racional (es decir, es un número irracional ). 1Q(incógnita)={1incógnita∈Q0incógnita∉Q{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}

Recibe su nombre del matemático Peter Gustav Lejeune Dirichlet . [ 3 ] Es un ejemplo de una función patológica que proporciona contraejemplos a muchas situaciones.

Propiedades topológicas

  • La función de Dirichlet no es continua en ningún punto . Podemos demostrarlo haciendo referencia a la definición de una función continua para mostrar que viola las propiedades de continuidad tanto en argumentos racionales como irracionales:
    Prueba
    • Si y es racional, entonces f ( y ) = 1 . Para demostrar que la función no es continua en y , necesitamos encontrar un ε tal que, sin importar cuán pequeño elijamos δ , habrá puntos z dentro de δ de y tales que f ( z ) no esté dentro de ε de f ( y ) = 1 . De hecho, 1 ⁄ 2 es tal ε . Debido a que los números irracionales son densos en los reales, sin importar qué δ elijamos siempre podemos encontrar un z irracional dentro de δ de y , y f ( z ) = 0 está al menos a 1 ⁄ 2 de 1.
    • Si y es irracional, entonces f ( y ) = 0 . Nuevamente, podemos tomar ε = 1 ⁄ 2 , y esta vez, debido a que los números racionales son densos en los reales, podemos elegir z como un número racional tan cercano a y como se requiera. Nuevamente, f ( z ) = 1 está a más de 1 ⁄ 2 de f ( y ) = 0 .
    Sus restricciones al conjunto de números racionales y al conjunto de números irracionales son constantes y, por lo tanto, continuas. La función de Dirichlet es un ejemplo arquetípico del teorema de Blumberg .
  • La función de Dirichlet se puede construir como el límite puntual doble de una secuencia de funciones continuas, como sigue: ∀incógnita∈R,1Q(incógnita)=límitek→∞(límitej→∞(porque⁡(k¡πincógnita))2j){\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)} para enteros j y k . Esto demuestra que la función de Dirichlet es una función de Baire de clase 2. No puede ser una función de Baire de clase 1 porque una función de Baire de clase 1 solo puede ser discontinua en un conjunto pequeño . [ 4 ]

Periodicidad

Para cualquier número real x y cualquier número racional positivo T ,1Q(incógnita+T)=1Q(incógnita){\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}Por lo tanto, la función de Dirichlet es un ejemplo de una función periódica real que no es constante pero cuyo conjunto de períodos, el conjunto de números racionales, es un subconjunto denso deR{\displaystyle \mathbb {R} }.

Propiedades de integración

  • La función de Dirichlet no es integrable de Riemann en ningún segmento deR{\displaystyle \mathbb {R} }a pesar de estar acotado porque el conjunto de sus puntos de discontinuidad no es despreciable (para la medida de Lebesgue ).
  • La función de Dirichlet tiene una integral de Darboux superior (a saber,b−a{\displaystyle ba}) y una integral de Darboux inferior (0) sobre cualquier intervalo acotado[a,b]{\displaystyle [a,b]}— pero no son iguales sia<b{\displaystyle a<b}, por lo que la función de Dirichlet no es integrable en el sentido de Darboux (y por lo tanto no es integrable en el sentido de Riemann) sobre ningún intervalo no degenerado.
  • La función de Dirichlet proporciona un contraejemplo que demuestra que el teorema de convergencia monótona no es cierto en el contexto de la integral de Riemann.
    Prueba

    Utilizando una enumeración de los números racionales entre 0 y 1, definimos la función f n (para todo entero no negativo n ) como la función indicadora del conjunto de los primeros n términos de esta sucesión de números racionales. La sucesión creciente de funciones f n (que son no negativas, integrables en el sentido de Riemann y con una integral nula) converge puntualmente a la función de Dirichlet, que no es integrable en el sentido de Riemann.

  • La función de Dirichlet es integrable de Lebesgue enR{\displaystyle \mathbb {R} }y su integral sobreR{\displaystyle \mathbb {R} }es cero porque es cero excepto en el conjunto de los números racionales, lo cual es despreciable (para la medida de Lebesgue).

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Función de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  2. ↑ Función de Dirichlet — de MathWorld
  3. ^ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829). "Sobre la convergencia de series trigonométricas que sirven para representar una función arbitraria entre los límites données" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 4 : 157-169 .La función se define en la página 169.
  4. ↑ Dunham, William (2005). The Calculus Gallery . Princeton University Press . pág. 197. ISBN  0-691-09565-5.
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