En ninguna parte hay función continua

Un ejemplo de dicha función es la función indicadora de los números racionales , también conocida como función de Dirichlet . Esta función se denota como${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$y tiene dominio y codominio iguales a los números reales . Por definición,${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$es igual a${\displaystyle 1}$si${\displaystyle x}$es un número racional y es${\displaystyle 0}$de lo contrario.

En términos más generales, si${\displaystyle E}$es cualquier subconjunto de un espacio topológico${\displaystyle X}$de tal manera que ambos${\displaystyle E}$y el complemento de${\displaystyle E}$son densos en${\displaystyle X,}$luego la función de valor real que toma el valor${\displaystyle 1}$en${\displaystyle E}$y${\displaystyle 0}$en el complemento de${\displaystyle E}$no será continua en ningún lugar. Las funciones de este tipo fueron investigadas originalmente por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^{[ 1 ]}

Una función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$Se denomina función aditiva si satisface la ecuación funcional de Cauchy : $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ para todo }}x,y\in \mathbb {R} .}$$ Por ejemplo, cada mapa de forma${\displaystyle x\mapsto cx,}$dónde${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$es alguna constante, es aditiva (de hecho, es lineal y continua). Además, cada mapa lineal${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es de esta forma (tomando${\displaystyle c:=L(1)}$).

Aunque toda aplicación lineal es aditiva, no todas las aplicaciones aditivas son lineales. Una aplicación aditiva${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es lineal si y solo si existe un punto en el que es continua, en cuyo caso es continua en todas partes. En consecuencia, toda función aditiva no lineal${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es discontinua en cada punto de su dominio. Sin embargo, la restricción de cualquier función aditiva${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$a cualquier múltiplo escalar real de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$es continuo; explícitamente, esto significa que para cada real${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$la restricción${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$al conjunto${\displaystyle r\,\mathbb {Q}$ :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}} es una función continua. Por lo tanto, si${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es una función aditiva no lineal entonces para cada punto${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$es discontinuo en${\displaystyle x}$pero${\displaystyle x}$También está contenido en algún subconjunto denso.${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$en el cual${\displaystyle f}$restricción de${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$es continuo (específicamente, tomar${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$si${\displaystyle x\neq 0,}$y tomar${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$si${\displaystyle x=0}$).

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales topológicos , como por ejemplo espacios normados , es continua (en todas partes) si y solo si existe un punto en el que es continua, en cuyo caso es incluso uniformemente continua . Por consiguiente, toda aplicación lineal es continua en todas partes o no lo es en ninguna. Todo funcional lineal es una aplicación lineal y en todo espacio normado de dimensión infinita, existe algún funcional lineal discontinuo .

La función de base 13 de Conway es discontinua en cada punto.