Mapa aditivo

En álgebra , una función aditiva , función -lineal o función aditiva es una función que conserva la operación de adición: ^[1] para cada par de elementos y en el dominio de Por ejemplo, cualquier función lineal es aditiva. Cuando el dominio son los números reales , esta es la ecuación funcional de Cauchy . Para un caso específico de esta definición, véase polinomio aditivo . ${\estilo de visualización Z}$ ${\estilo de visualización f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización f.}$

Más formalmente, una función aditiva es un homomorfismo de módulo a . Dado que un grupo abeliano es un módulo a , se lo puede definir como un homomorfismo de grupo entre grupos abelianos. ${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Un mapa que es aditivo en cada uno de dos argumentos por separado se denomina mapa biaditivo o mapa bilineal . ^[2]${\displaystyle V\veces W\a X}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Entre los ejemplos típicos se incluyen las funciones entre anillos , espacios vectoriales o módulos que preservan el grupo aditivo . Una función aditiva no preserva necesariamente ninguna otra estructura del objeto; por ejemplo, la operación producto de un anillo.

Si y son mapas aditivos, entonces el mapa (definido puntualmente ) es aditivo. ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización f+g}$

Definición de multiplicación escalar por un entero

Supongamos que es un grupo aditivo con elemento identidad y que el inverso de se denota por Para cualquier entero y sea: Por lo tanto y se puede demostrar que para todos los enteros y todos y Esta definición de multiplicación escalar convierte al subgrupo cíclico de en un módulo izquierdo ; si es conmutativo, entonces también convierte en un módulo izquierdo. ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización 0}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización -x.}$${\displaystyle x\en X}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ cuando }}n=0,\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ sumandos) }}&&~{\text{ cuando }}n>0,\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ sumandos) }}&&~{\text{ cuando }}n<0,\\\end{alignedat}}\right.}$$${\displaystyle (-1)x=-x}$${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z}}$${\displaystyle x\en X,}$ $Estilo de visualización (m+n)x=mx+nx$${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x).}$${\displaystyle \mathbb {Z}x}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$

Homogeneidad sobre los números enteros

Si es una función aditiva entre grupos aditivos entonces y para todos (donde la negación denota el inverso aditivo) y ^{[prueba 1]} En consecuencia, para todos (donde por definición, ). ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle x\en X,}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ $${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad {\text{ para todo }}n\in \mathbb {Z} .}$$${\displaystyle f(xy)=f(x)-f(y)}$${\displaystyle x,y\en X}$${\displaystyle xy:=x+(-y)}$

En otras palabras, toda función aditiva es homogénea sobre los enteros . En consecuencia, toda función aditiva entre grupos abelianos es un homomorfismo de -módulos${\displaystyle \mathbb {Z}}$ .

Homomorfismo de -módulos${\displaystyle \mathbb {Q}}$

Si los grupos abelianos aditivos y son también módulos unitarios sobre los racionales (como espacios vectoriales reales o complejos ), entonces una función aditiva satisface: ^{[prueba 2]} En otras palabras, toda función aditiva es homogénea sobre los números racionales . En consecuencia, toda función aditiva entre módulos unitarios es un homomorfismo de módulos . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad {\text{ para todos }}q\in \mathbb {Q} {\text{ y }}x\in X.}$$${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$

A pesar de ser homogénea sobre los números reales , como se describe en el artículo sobre la ecuación funcional de Cauchy , aun cuando todavía es posible que la función aditiva no sea homogénea sobre los números reales ; dicho de otra manera, existen aplicaciones aditivas que no son de la forma para alguna constante. En particular, existen aplicaciones aditivas que no son aplicaciones lineales . ${\displaystyle \mathbb {Q},}$${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \a \mathbb {R} }$$Estilo de visualización f(x)=s_{0}x$${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} .}$

• Mapa antilineal  – Mapa aditivo homogéneo conjugado

Pruebas

• Roger C. Lyndon ; Paul E. Schupp (2001), Teoría de grupos combinatorios , Springer