La función de interrogación de Minkowski

Izquierda: $?(x)$ . Derecha: $?(x) - x$ .

En matemáticas , la función de signo de interrogación de Minkowski , denotada $?(x)$ , es una función con propiedades fractales inusuales, definida por Hermann Minkowski en 1904. ^{[ 1 ]} Mapea números irracionales cuadráticos a números racionales en el intervalo unitario , a través de una expresión que relaciona las expansiones en fracciones continuas de los cuadráticos con las expansiones binarias de los racionales, dada por Arnaud Denjoy en 1938. ^{[ 2 ]} También mapea números racionales a racionales diádicos , como se puede ver por una definición recursiva estrechamente relacionada con el árbol de Stern-Brocot .

Definición e intuición

Una forma de definir la función del signo de interrogación implica la correspondencia entre dos formas diferentes de representar números reales utilizando secuencias binarias finitas o infinitas . Lo más familiar es que una cadena de 0s y 1s con un solo punto decimal ".", como "11.0010010000111111...", puede interpretarse como la representación binaria de un número. En este caso, este número es $2+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\pi .$ Sin embargo, hay una forma diferente de interpretar la misma secuencia, usando fracciones continuas . Interpretando la parte fraccionaria "0.00 1 00 1 0000 111111 0..." como un número binario de la misma manera, reemplazamos cada bloque consecutivo de 0 o 1 por su longitud de ejecución (o, para el primer bloque de ceros, su longitud de ejecución más uno), en este caso generando la secuencia [3;3, 1 , 2 , 1 , 4 , 6 , $\dots ]$ . Luego, use esta secuencia como coeficientes de una fracción continua: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} $3+{\frac {1}{\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 4+{\frac {1}{\displaystyle 6+\dots }}}}}}}}}}}}\aprox 3,2676$

La función de signo de interrogación invierte este proceso: traduce la fracción continua de un número real dado en una secuencia binaria codificada por longitud de ejecución y luego reinterpreta esa secuencia como un número binario. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Por ejemplo, para el ejemplo anterior, $\operatorname {?} (3.2676)\approx \pi$ Para definir esto formalmente, si un número irracional $x$ tiene la representación de fracción continua (no terminante) $x=a_{0}+{\frac {1}{\displaystyle a_{1}+{\frac {1}{\displaystyle a_{2}+\cdots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]$ entonces el valor de la función de signo de interrogación en $x$ se define como el valor de la serie infinita $\operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.$ Un número racional $x$ tiene una representación de fracción continua que termina $[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}]$ , por lo que el valor de la función de signo de interrogación en $x$ se reduce al racional diádico definido por una suma finita, $\operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.$ Un número irracional cuadrático $x$ está representada por una fracción continua periódica , por lo que el valor de la función de signo de interrogación en $x$ es una fracción binaria periódica y, por lo tanto, un número racional no diádico.

Auto-simetría

El signo de interrogación es claramente autosimilar visualmente. Un monoide de autosimilitudes puede generarse mediante dos operadores $S$ y $R$ que actúan sobre el cuadrado unitario y se define de la siguiente manera: ${\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}$

Visualmente, $S$ reduce el cuadrado unitario a su cuadrante inferior izquierdo, mientras que $R$ realiza una reflexión puntual a través de su centro.

Un punto en la gráfica de $?$ tiene coordenadas $(x, ?(x))$ para algún $x$ en el intervalo unitario. Dicho punto se transforma mediante $S$ y $R$ en otro punto de la gráfica, porque $?$ satisface las siguientes identidades para todo $x \in [0, 1]$ : ${\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}$

Estos dos operadores pueden combinarse repetidamente, formando un monoide. Un elemento general del monoide es entonces $S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots$

para enteros positivos $a 1, a 2, a 3, \dots$ . Cada uno de estos elementos describe una autosimilitud de la función signo de interrogación. Este monoide a veces se denomina monoide de duplicación de período , y todas las curvas fractales de duplicación de período tienen una autosimetría descrita por él (la curva de de Rham , de la cual el signo de interrogación es un caso especial, es una categoría de tales curvas). Los elementos del monoide están en correspondencia con los racionales, mediante la identificación de $a 1, a 2, a 3, \dots$ con la fracción continua $[0; a 1, a 2, a 3,\dots]$ . Dado que ambos $S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}$ y $T:x\mapsto 1-x$ son transformaciones fraccionarias lineales con coeficientes enteros, el monoide puede considerarse como un subconjunto del grupo modular $PSL(2, Z)$ .

irracionales cuadráticos

La función de signo de interrogación proporciona una correspondencia biunívoca entre los racionales no diádicos y los irracionales cuadráticos , lo que permite una demostración explícita de la numerabilidad de estos últimos. De hecho, estos pueden interpretarse como las órbitas periódicas de la transformación diádica . Esto puede demostrarse explícitamente en tan solo unos pasos.

Simetría diádica

Definimos dos movimientos: un movimiento a la izquierda y un movimiento a la derecha, válidos en el intervalo unitario. $0\leq x\leq 1$ como $L_{D}(x)={\frac {x}{2}}$ y $L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}$ y $R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}$ y $R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}$ La función del signo de interrogación obedece entonces a una simetría de desplazamiento hacia la izquierda. $L_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}$ y una simetría de movimiento hacia la derecha $R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ R_{C}$ dónde $\circ$ denota la composición de funciones . Estas se pueden concatenar arbitrariamente. Consideremos, por ejemplo, la secuencia de movimientos de izquierda a derecha. $LRLLR.$ Añadiendo los subíndices C y D y, para mayor claridad, eliminando el operador de composición. $\circ$ En casi todos los lugares, uno tiene: $L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}$ Las cadenas arbitrarias de longitud finita en las letras L y R corresponden a los racionales diádicos , en el sentido de que todo racional diádico puede escribirse como ambos $y=n/2^{m}$ para enteros n y m y como longitud finita de bits $y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}$ con $b_{k}\in \{0,1\}.$ Por lo tanto, cada racional diádico está en correspondencia biunívoca con alguna auto-simetría de la función de signo de interrogación.

Algunas reordenaciones de notación pueden hacer que lo anterior sea un poco más fácil de expresar. Sea $g_{0}$ y $g_{1}$ representan L y R. La composición de funciones extiende esto a un monoide , en el que se puede escribir $g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}$ y en general, $g_{A}g_{B}=g_{AB}$ para algunas cadenas binarias de dígitos A y B , donde AB es simplemente la concatenación ordinaria de dichas cadenas. El monoide diádico M es entonces el monoide de todos esos movimientos de izquierda a derecha de longitud finita. Escribiendo $\gamma \in M$ Como elemento general del monoide, existe una auto-simetría correspondiente de la función de signo de interrogación: $\gamma _{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ \gamma _{C}$

Isomorfismo

Se puede obtener una correspondencia explícita entre los racionales y los racionales diádicos proporcionando un operador de reflexión. $r(x)=1-x$ y observando que ambos $r\circ R_{D}\circ r=L_{D}$ y $r\circ R_{C}\circ r=L_{C}$ Desde $r^{2}=1$ es la identidad , una cadena arbitraria de movimientos de izquierda a derecha puede reescribirse como una cadena de movimientos solo a la izquierda, seguida de una reflexión, seguida de más movimientos a la izquierda, una reflexión, y así sucesivamente, es decir, como $L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots$ que es claramente isomorfo a $S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots$ desde arriba. Evaluar alguna secuencia explícita de $L_{D},R_{D}$ en el argumento de la función $x=1$ da un racional diádico; explícitamente, es igual a $y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}$ donde cada $b_{k}\in \{0,1\}$ es un bit binario, cero corresponde a un movimiento a la izquierda y uno corresponde a un movimiento a la derecha. La secuencia equivalente de $L_{C},R_{C}$ movimientos, evaluados en $x=1$ da un número racional $p/q.$ Es explícitamente la proporcionada por la fracción continua. $p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j}]$ teniendo en cuenta que es racional porque la secuencia $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j})$ era de longitud finita. Esto establece una correspondencia uno a uno entre los racionales diádicos y los racionales.

Órbitas periódicas de la transformación diádica

Consideremos ahora las órbitas periódicas de la transformación diádica . Estas corresponden a secuencias de bits que consisten en una secuencia inicial finita y "caótica" de bits. $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k-1}$ , seguido de una cadena repetitiva $b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\ldots ,b_{k+m-1}$ de longitud $m$ Estas cadenas repetitivas corresponden a un número racional. Esto se puede explicitar fácilmente. Escribe $y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}$ uno entonces claramente tiene $\sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}$ Si se añade la secuencia inicial no repetitiva, se obtiene claramente un número racional. De hecho, todo número racional puede expresarse de esta manera: una secuencia inicial "aleatoria", seguida de una repetición cíclica. Es decir, las órbitas periódicas del mapa se corresponden biunívocamente con los números racionales.

Órbitas periódicas como fracciones continuas

Dichas órbitas periódicas tienen una fracción continua periódica equivalente, según el isomorfismo establecido anteriormente. Hay una órbita "caótica" inicial, de cierta longitud finita, seguida de una secuencia repetitiva. La secuencia repetitiva genera una fracción continua periódica que satisface $x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{n+r},x].$ Esta fracción continua tiene la forma ^{[ 5 ]} $x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}$ con el $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ siendo números enteros y satisfaciendo $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.$ Los valores explícitos se pueden obtener escribiendo $S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$ para el turno, de modo que $S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}$ mientras que la reflexión viene dada por $T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ de modo que $T^{2}=I$ Ambas matrices son unimodulares , los productos arbitrarios siguen siendo unimodulares y dan como resultado una matriz de la forma $S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$ dando el valor preciso de la fracción continua. Como todas las entradas de la matriz son números enteros, esta matriz pertenece al grupo modular proyectivo. $PSL(2,\mathbb {Z} ).$

Resolviendo explícitamente, se tiene que $\gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.$ No es difícil comprobar que las soluciones a este problema cumplen la definición de irracionales cuadráticos. De hecho, todo irracional cuadrático puede expresarse de esta manera. Así, los irracionales cuadráticos guardan una correspondencia biunívoca con las órbitas periódicas de la transformada diádica, que a su vez guardan una correspondencia biunívoca con los racionales (no diádicos), los cuales guardan una correspondencia biunívoca con los racionales diádicos. La función de signo de interrogación establece la correspondencia en cada caso.

Propiedades de $?(x)$

La función de signo de interrogación es una función estrictamente creciente y continua, ^{[ 6 ]} pero no absolutamente continua . La derivada está definida casi en todas partes y solo puede tomar dos valores: 0 (su valor casi en todas partes, incluyendo todos los números racionales ) y $+\infty$ [ ⁷^] Existen varias construcciones para una medida que, al integrarse, produce la función de signo de interrogación. Una de estas construcciones se obtiene midiendo la densidad de los números ^de Farey en la recta numérica real. La medida de signo de interrogación es el ejemplo prototípico de lo que a veces se denomina medidas multifractales .

La función de signo de interrogación mapea números racionales a números racionales diádicos , es decir, aquellos cuya representación en base dos termina, como se puede demostrar por inducción a partir de la construcción recursiva descrita anteriormente. Mapea irracionales cuadráticos a números racionales no diádicos. En ambos casos proporciona un isomorfismo de orden entre estos conjuntos, ^{[ 8 ]} concretando el teorema de isomorfismo de Cantor según el cual dos órdenes lineales densos numerables no acotados son isomorfos en orden. ^{[ 9 ]} Es una función impar y satisface la ecuación funcional $?(x + 1) = ?(x) + 1$ ; por consiguiente $x \mapsto ?(x) - x$ es una función periódica impar con período uno. Si $?(x)$ es irracional, entonces $x$ es algebraico de grado mayor que dos o trascendental .

La función de signo de interrogación tiene puntos fijos en 0, 1/2 y 1 , y al menos dos más, simétricos respecto al punto medio. Uno de ellos es aproximadamente 0,42037. [ ^{6 ] Se} conjetura que estos son los únicos 5 puntos fijos. ^{[ 10 ]}

En 1943, Raphaël Salem planteó la cuestión de si los coeficientes de Fourier-Stieltjes de la función de signo de interrogación se anulan en el infinito . ^{[ 11 ]} En otras palabras, quería saber si o no $\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.$

Jordan y Sahlsten respondieron afirmativamente a esta pregunta, como un caso especial de un resultado sobre medidas de Gibbs . ^{[ 12 ]}

La gráfica de la función de signo de interrogación de Minkowski es un caso especial de curvas fractales conocidas como curvas de De Rham .

Algoritmo

La definición recursiva se presta naturalmente a un algoritmo para calcular la función con cualquier grado de precisión deseado para cualquier número real, como lo demuestra la siguiente función en C. El algoritmo desciende por el árbol de Stern-Brocot en busca de la entrada $x ,$ $y$ suma los términos de la expansión binaria de $y = ?( x ) en el camino. Mientras se cumpla el invariante del bucle qr − ps = 1, no es necesario reducir la fracción m / n = p + r / q$ $+$ $s$ $,$ $ya$ $que$ ya está $en$ $su$ $mínima$ $expresión$ $.$ Otro $invariante es p / q \leq$ $x$ $<$ $r$ $/$ $s$ $.$ $El$ $bucle$ $en$ $este$ $programa$ $puede$ analizarse de $forma$ $similar$ $a$ $un$ $bucle$ $,$ $con$ $las$ $sentencias$ $break$ $condicionales$ en $las$ tres primeras líneas que definen la condición. Las únicas instrucciones en el bucle que pueden afectar a los invariantes se encuentran en las dos últimas líneas, y se puede demostrar que estas preservan la veracidad de ambos invariantes siempre que las tres primeras líneas se hayan ejecutado correctamente sin salir del bucle. Un tercer invariante para el cuerpo del bucle (con precisión de punto flotante) es $y$ $\leq$ $?($ $x$ $) <$ $y$ $+$ $d$ , pero dado que $d$ se divide por la mitad al comienzo del bucle antes de que se compruebe ninguna condición, nuestra conclusión es solo que $y$ $\leq$ $?($ $x$ $) <$ $y$ $+ 2$ $d$ al finalizar el bucle. forwhile

Para demostrar la terminación , basta con observar que la suma q + saumenta al menos en 1 con cada iteración del bucle, y que este terminará cuando dicha suma sea demasiado grande para ser representada en el tipo de dato primitivo de C. longSin embargo, en la práctica, la condición break y + d == yes lo que garantiza la terminación del bucle en un tiempo razonable.

/* Función de signo de interrogación de Minkowski */ double minkowski ( double x ) { long p = x ; long q = 1 , r = p + 1 , s = 1 , m , n ; double d = 1 , y = p ; if ( x < p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) return x ; /* fuera de rango ?(x) =~ x */ while ( true ) { /* invariantes: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */ d /= 2 ; if ( y + d == y ) break ; /* se alcanzó la máxima precisión posible */ m = p + r ; if (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) break ; /* la suma se desbordó */ n = q + s ; if ( n < 0 ) break ; /* suma desbordada */if ( x < ( double ) m / n ) { r = m ; s = n ; } else { y += d ; p = m ; q = n ; } } return y + d ; /* redondeo final */ }

Distribución de probabilidad

Restringiendo la función de signo de interrogación de Minkowski a ?:[0,1] → [0,1], se puede utilizar como la función de distribución acumulativa de una distribución singular en el intervalo unitario. Esta distribución es simétrica respecto a su punto medio, con momentos brutos de aproximadamente m ₁ = 0,5, m ₂ = 0,290926, m ₃ = 0,186389 y m ₄ = 0,126992, ^{[ 13 ]} y por lo tanto una media y mediana de 0,5, una desviación estándar de aproximadamente 0,2023, una asimetría de 0 y una curtosis de exceso de aproximadamente −1,147.

Véase también

La función de Cantor , que puede entenderse como una reinterpretación de los números ternarios como números binarios, de forma análoga a como la función de signo de interrogación reinterpreta las fracciones continuas como números binarios.
El problema de Hermite , para el cual uno de los enfoques utiliza una generalización de la función de signo de interrogación de Minkowski. ^{[ 14 ]}
Derivado de Pompeya

Referencias

Notas

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↑ Denjoy (1938) .
1 2 Finch (2003) , págs. 441–442.
1 2 Pytheas Fogg (2002) , pág. 95.
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↑ Bhattacharjee et al. (1997) .
↑ Moshchevitin (2020) . Error sfnp: sin destino: CITEREFMoshchevitin2020 ( ayuda )
↑ Salem (1943) .
↑ Jordania y Sahlsten (2016) .
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Fuentes históricas

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Bibliografía

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Lecturas adicionales

Alkauskas, Giedrius (2008), Transformadas integrales de la función de signo de interrogación de Minkowski , tesis doctoral, Universidad de Nottingham
Bibiloni, L.; Paradis, J.; Viader, P. (1998), "Una nueva perspectiva sobre la función ?(x) de Minkowski" , Journal of Number Theory , 73 (2): 212–227 , doi : 10.1006/jnth.1998.2294 , hdl : 10230/843 , Zbl 0928.11006 , archivado del original el 22 de junio de 2015.
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Vepstas, L. (2004), El signo de interrogación de Minkowski y el grupo modular SL(2,Z) (PDF)
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Enlaces externos

Una extensa lista bibliográfica
Weisstein, Eric W. , "La función de signo de interrogación de Minkowski" , MathWorld
Implementación sencilla de IEEE 754 en C++

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