Tiempo discreto y tiempo continuo

En dinámica matemática, el tiempo discreto y el tiempo continuo son dos marcos alternativos dentro de los cuales se modelan las variables que evolucionan a lo largo del tiempo.

La concepción del tiempo discreto considera que los valores de las variables ocurren en distintos "puntos en el tiempo" separados, o, equivalentemente, que permanecen invariables a lo largo de cada intervalo de tiempo distinto de cero ("periodo de tiempo"). Es decir, el tiempo se considera una variable discreta . Por lo tanto, una variable que no es temporal cambia de valor a medida que el tiempo avanza de un periodo al siguiente. Esta visión del tiempo se corresponde con un reloj digital que marca las 10:37 durante un tiempo y luego cambia a las 10:38, etc. En este marco, cada variable de interés se mide una vez en cada periodo de tiempo. El número de mediciones entre dos periodos cualesquiera es finito. Las mediciones se realizan normalmente en valores enteros secuenciales de la variable "tiempo".

Una señal discreta o señal de tiempo discreto es una serie temporal que consiste en una secuencia de cantidades.

A diferencia de una señal de tiempo continuo, una señal de tiempo discreto no es función de un argumento continuo; sin embargo, puede haberse obtenido mediante el muestreo de una señal de tiempo continuo. Cuando una señal de tiempo discreto se obtiene mediante el muestreo de una secuencia en intervalos de tiempo uniformes, tiene una frecuencia de muestreo asociada .

Las señales de tiempo discreto pueden tener varios orígenes, pero generalmente se pueden clasificar en uno de dos grupos: ^{[ 1 ]}

• Mediante la adquisición de valores de una señal analógica a una velocidad constante o variable. Este proceso se denomina muestreo . ^{[ 2 ]}
• Mediante la observación de un proceso intrínsecamente discreto en el tiempo, como el valor máximo semanal de un indicador económico en particular.

En cambio, el tiempo continuo considera que las variables solo tienen un valor particular durante un lapso infinitesimal . Entre dos instantes cualesquiera, existen infinitos otros instantes. La variable "tiempo" abarca toda la recta numérica real o, según el contexto, algún subconjunto de ella, como los números reales no negativos. Por lo tanto, el tiempo se considera una variable continua .

Una señal continua o de tiempo continuo es una magnitud variable (una señal ) cuyo dominio, que suele ser el tiempo, es un continuo (por ejemplo, un intervalo conexo de los números reales ). Es decir, el dominio de la función es un conjunto no numerable . La función en sí no tiene por qué ser continua . En cambio, una señal de tiempo discreto tiene un dominio numerable , como los números naturales .

Una señal de amplitud y duración continuas se conoce como señal de tiempo continuo o señal analógica . Esta señal tendrá un valor constante en cada instante. Las señales eléctricas derivadas de magnitudes físicas como la temperatura, la presión, el sonido, etc., son generalmente señales continuas. Otros ejemplos de señales continuas son la onda sinusoidal, la onda cosenoidal, la onda triangular, etc.

La señal se define sobre un dominio, que puede ser finito o infinito, y existe una función que relaciona dicho dominio con el valor de la señal. La continuidad de la variable tiempo, en concordancia con la ley de densidad de los números reales , implica que el valor de la señal puede hallarse en cualquier instante de tiempo.

Un ejemplo típico de una señal de duración infinita es:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

Una contraparte de duración finita de la señal anterior podría ser:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$y${\displaystyle f(t)=0}$de lo contrario.

El valor de una señal de duración finita (o infinita) puede ser finito o no. Por ejemplo,

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$y${\displaystyle f(t)=0}$de lo contrario,

es una señal de duración finita pero toma un valor infinito para${\displaystyle t=0\,}$.

En muchas disciplinas, la convención es que una señal continua siempre debe tener un valor finito, lo cual tiene más sentido en el caso de las señales físicas.

Para algunos propósitos, las singularidades infinitas son aceptables siempre que la señal sea integrable sobre cualquier intervalo finito (por ejemplo, el${\displaystyle t^{-1}}$La señal no es integrable en el infinito, pero${\displaystyle t^{-2}}$es).

Cualquier señal analógica es continua por naturaleza. Las señales de tiempo discreto , utilizadas en el procesamiento digital de señales , se pueden obtener mediante el muestreo y la cuantificación de señales continuas.

También se puede definir una señal continua en función de una variable independiente distinta del tiempo. Otra variable independiente muy común es el espacio, que resulta especialmente útil en el procesamiento de imágenes , donde se utilizan dos dimensiones espaciales.

El tiempo discreto se emplea con frecuencia en mediciones empíricas , ya que normalmente solo es posible medir las variables de forma secuencial. Por ejemplo, si bien la actividad económica se desarrolla de forma continua, sin que exista un momento en que la economía se detenga por completo, solo es posible medirla de forma discreta. Por este motivo, los datos publicados sobre, por ejemplo, el producto interno bruto, mostrarán una secuencia de valores trimestrales .

Cuando se intenta explicar empíricamente dichas variables en función de otras variables o de sus propios valores previos, se utilizan métodos de series temporales o de regresión en los que las variables se indexan con un subíndice que indica el período en el que se produjo la observación. Por ejemplo, y _t podría referirse al valor del ingreso observado en un período t no especificado , y ₃ al valor del ingreso observado en el tercer período, etc.

Además, cuando un investigador intenta desarrollar una teoría para explicar lo que se observa en un tiempo discreto, a menudo la propia teoría se expresa en tiempo discreto para facilitar el desarrollo de un modelo de series temporales o de regresión.

Por otro lado, a menudo es más manejable matemáticamente construir modelos teóricos en tiempo continuo, y con frecuencia en áreas como la física una descripción exacta requiere el uso del tiempo continuo. En un contexto de tiempo continuo, el valor de una variable y en un punto de tiempo no especificado se denota como y ( t ) o, cuando el significado es claro, simplemente como y .

Una variable medida en tiempo discreto puede representarse gráficamente como una función escalonada , donde cada período de tiempo ocupa una región en el eje horizontal de la misma longitud que los demás, y la variable medida se representa como una altura que permanece constante a lo largo de dicha región. En esta técnica gráfica, el gráfico aparece como una secuencia de escalones horizontales. Alternativamente, cada período de tiempo puede considerarse como un punto aislado en el tiempo, generalmente en un valor entero del eje horizontal, y la variable medida se representa como una altura por encima de ese punto del eje temporal. En esta técnica, el gráfico aparece como un conjunto de puntos.

Los valores de una variable medida en tiempo continuo se representan gráficamente como una función continua , ya que el dominio del tiempo se considera que es todo el eje real o al menos alguna porción conectada del mismo.

• Gershenfeld, Neil A. (1999). La naturaleza del modelado matemático . Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.
• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Transitorios analíticos . Wiley.